Номер 785, страница 325 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 785, страница 325.
№785 (с. 325)
Условие. №785 (с. 325)
скриншот условия

785. 1) $1 + \sin \alpha = 2\cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right);$
2) $1 - \sin \alpha = 2\sin^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right).$
Решение 1. №785 (с. 325)


Решение 2. №785 (с. 325)

Решение 3. №785 (с. 325)
1) Докажем тождество $1 + \sin\alpha = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$.
Для доказательства преобразуем левую часть равенства, $1 + \sin\alpha$.
Сначала используем формулу приведения, чтобы выразить синус через косинус: $\sin\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$.
Подставим это в наше выражение:
$1 + \sin\alpha = 1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$
Далее, применим формулу для косинуса двойного угла, которая имеет вид $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$. Эту формулу также называют формулой понижения степени.
В нашем случае, аргумент косинуса $2x = \frac{\pi}{2} - \alpha$. Отсюда находим $x$:
$x = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$
Подставляя это значение $x$ в формулу $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$, получаем:
$1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$
Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Преобразовав левую часть $1 + \sin\alpha$ с помощью формулы приведения и формулы косинуса двойного угла, мы получили правую часть $2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$, что доказывает верность тождества.
2) Докажем тождество $1 - \sin\alpha = 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$.
Доказательство аналогично предыдущему. Преобразуем левую часть равенства, $1 - \sin\alpha$.
Используем ту же формулу приведения: $\sin\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$.
Подставим ее в выражение:
$1 - \sin\alpha = 1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$
Теперь применим другую вариацию формулы косинуса двойного угла (формулу понижения степени): $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.
Как и в предыдущем пункте, $2x = \frac{\pi}{2} - \alpha$, и, следовательно, $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$.
Подставляя $x$ в формулу $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$, получаем:
$1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$
Таким образом, левая часть тождества была преобразована в правую. Тождество доказано.
Ответ: Преобразовав левую часть $1 - \sin\alpha$ с помощью формулы приведения и формулы косинуса двойного угла, мы получили правую часть $2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$, что доказывает верность тождества.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 785 расположенного на странице 325 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №785 (с. 325), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.