Номер 785, страница 325 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 785, страница 325.

№785 (с. 325)
Условие. №785 (с. 325)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 325, номер 785, Условие

785. 1) $1 + \sin \alpha = 2\cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right);$

2) $1 - \sin \alpha = 2\sin^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right).$

Решение 1. №785 (с. 325)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 325, номер 785, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 325, номер 785, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №785 (с. 325)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 325, номер 785, Решение 2
Решение 3. №785 (с. 325)

1) Докажем тождество $1 + \sin\alpha = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, $1 + \sin\alpha$.

Сначала используем формулу приведения, чтобы выразить синус через косинус: $\sin\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$.

Подставим это в наше выражение:

$1 + \sin\alpha = 1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$

Далее, применим формулу для косинуса двойного угла, которая имеет вид $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$. Эту формулу также называют формулой понижения степени.

В нашем случае, аргумент косинуса $2x = \frac{\pi}{2} - \alpha$. Отсюда находим $x$:

$x = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$

Подставляя это значение $x$ в формулу $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$, получаем:

$1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Преобразовав левую часть $1 + \sin\alpha$ с помощью формулы приведения и формулы косинуса двойного угла, мы получили правую часть $2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$, что доказывает верность тождества.

2) Докажем тождество $1 - \sin\alpha = 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$.

Доказательство аналогично предыдущему. Преобразуем левую часть равенства, $1 - \sin\alpha$.

Используем ту же формулу приведения: $\sin\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$.

Подставим ее в выражение:

$1 - \sin\alpha = 1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$

Теперь применим другую вариацию формулы косинуса двойного угла (формулу понижения степени): $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.

Как и в предыдущем пункте, $2x = \frac{\pi}{2} - \alpha$, и, следовательно, $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$.

Подставляя $x$ в формулу $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$, получаем:

$1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$

Таким образом, левая часть тождества была преобразована в правую. Тождество доказано.

Ответ: Преобразовав левую часть $1 - \sin\alpha$ с помощью формулы приведения и формулы косинуса двойного угла, мы получили правую часть $2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$, что доказывает верность тождества.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 785 расположенного на странице 325 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №785 (с. 325), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.