Номер 785, страница 325 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 785, страница 325.

Условие.

785. 1) $1 + \sin \alpha = 2\cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right);$

2) $1 - \sin \alpha = 2\sin^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Докажем тождество $1 + \sin\alpha = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, $1 + \sin\alpha$.

Сначала используем формулу приведения, чтобы выразить синус через косинус: $\sin\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$.

Подставим это в наше выражение:

$1 + \sin\alpha = 1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$

Далее, применим формулу для косинуса двойного угла, которая имеет вид $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$. Эту формулу также называют формулой понижения степени.

В нашем случае, аргумент косинуса $2x = \frac{\pi}{2} - \alpha$. Отсюда находим $x$:

$x = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$

Подставляя это значение $x$ в формулу $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$, получаем:

$1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Преобразовав левую часть $1 + \sin\alpha$ с помощью формулы приведения и формулы косинуса двойного угла, мы получили правую часть $2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$, что доказывает верность тождества.

2) Докажем тождество $1 - \sin\alpha = 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$.

Доказательство аналогично предыдущему. Преобразуем левую часть равенства, $1 - \sin\alpha$.

Используем ту же формулу приведения: $\sin\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$.

Подставим ее в выражение:

$1 - \sin\alpha = 1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$

Теперь применим другую вариацию формулы косинуса двойного угла (формулу понижения степени): $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.

Как и в предыдущем пункте, $2x = \frac{\pi}{2} - \alpha$, и, следовательно, $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$.

Подставляя $x$ в формулу $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$, получаем:

$1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$

Таким образом, левая часть тождества была преобразована в правую. Тождество доказано.

Ответ: Преобразовав левую часть $1 - \sin\alpha$ с помощью формулы приведения и формулы косинуса двойного угла, мы получили правую часть $2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$, что доказывает верность тождества.