Номер 790, страница 326 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 790, страница 326.

Условие.

790. 1) $4\sin x\sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3} + x\right) = \sin3x;$

2) $\cos3x\cos6x\cos12x = \frac{\sin24x}{8\sin3x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы доказать тождество $4\sin x \sin(\frac{\pi}{3} - x)\sin(\frac{\pi}{3} + x) = \sin 3x$, преобразуем его левую часть (ЛЧ).

ЛЧ = $4\sin x \sin(\frac{\pi}{3} - x)\sin(\frac{\pi}{3} + x)$.

Сначала рассмотрим произведение $\sin(\frac{\pi}{3} - x)\sin(\frac{\pi}{3} + x)$. Воспользуемся формулой произведения синусов $\sin(\alpha - \beta)\sin(\alpha + \beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\beta$. В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = x$.

$\sin(\frac{\pi}{3} - x)\sin(\frac{\pi}{3} + x) = \sin^2(\frac{\pi}{3}) - \sin^2 x$.

Так как $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $\sin^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.

Подставим это значение в наше произведение:

$\sin(\frac{\pi}{3} - x)\sin(\frac{\pi}{3} + x) = \frac{3}{4} - \sin^2 x$.

Теперь подставим это выражение обратно в левую часть исходного тождества:

ЛЧ = $4\sin x (\frac{3}{4} - \sin^2 x)$.

Раскроем скобки:

ЛЧ = $4\sin x \cdot \frac{3}{4} - 4\sin x \cdot \sin^2 x = 3\sin x - 4\sin^3 x$.

Полученное выражение $3\sin x - 4\sin^3 x$ является формулой синуса тройного угла, то есть $\sin 3x$.

Таким образом, ЛЧ = $\sin 3x$, что равно правой части (ПЧ) тождества. Тождество доказано.

Ответ: тождество $4\sin x\sin(\frac{\pi}{3} - x)\sin(\frac{\pi}{3} + x) = \sin 3x$ доказано.

2) Чтобы доказать тождество $\cos 3x \cos 6x \cos 12x = \frac{\sin 24x}{8\sin 3x}$, преобразуем его левую часть (ЛЧ). Отметим, что тождество имеет смысл при условии $\sin 3x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{k\pi}{3}$ для любого целого $k$.

ЛЧ = $\cos 3x \cos 6x \cos 12x$.

Для преобразования воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Чтобы ее применить, умножим и разделим ЛЧ на $2\sin 3x$ (это возможно, так как мы уже указали, что $\sin 3x \neq 0$):

ЛЧ = $\frac{2\sin 3x \cos 3x \cos 6x \cos 12x}{2\sin 3x}$.

Применим формулу синуса двойного угла к числителю. Для $\alpha = 3x$ имеем $2\sin 3x \cos 3x = \sin(2 \cdot 3x) = \sin 6x$.

ЛЧ = $\frac{\sin 6x \cos 6x \cos 12x}{2\sin 3x}$.

Снова видим в числителе конструкцию, подходящую для применения формулы. Умножим числитель и знаменатель на 2:

ЛЧ = $\frac{2\sin 6x \cos 6x \cos 12x}{2 \cdot 2\sin 3x} = \frac{2\sin 6x \cos 6x \cos 12x}{4\sin 3x}$.

Для $\alpha = 6x$ имеем $2\sin 6x \cos 6x = \sin(2 \cdot 6x) = \sin 12x$.

ЛЧ = $\frac{\sin 12x \cos 12x}{4\sin 3x}$.

Повторим операцию еще раз, умножив числитель и знаменатель на 2:

ЛЧ = $\frac{2\sin 12x \cos 12x}{2 \cdot 4\sin 3x} = \frac{2\sin 12x \cos 12x}{8\sin 3x}$.

Для $\alpha = 12x$ имеем $2\sin 12x \cos 12x = \sin(2 \cdot 12x) = \sin 24x$.

ЛЧ = $\frac{\sin 24x}{8\sin 3x}$.

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью тождества. Тождество доказано.

Ответ: тождество $\cos 3x \cos 6x \cos 12x = \frac{\sin 24x}{8\sin 3x}$ доказано.