Номер 792, страница 326 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 792, страница 326.

Условие.

792. Записать в алгебраической форме комплексное число:

1) $4\left(\cos\frac{7\pi}{3} + i\sin\frac{7\pi}{3}\right)$;

2) $6\left(\cos\frac{9\pi}{4} + i\sin\frac{9\pi}{4}\right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы записать комплексное число из тригонометрической формы $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ в алгебраическую форму $z = a + bi$, необходимо вычислить значения косинуса и синуса угла $\varphi$ и затем раскрыть скобки, умножив модуль $r$ на действительную и мнимую части.

1) $4(\cos\frac{7\pi}{3} + i\sin\frac{7\pi}{3})$

Данное комплексное число представлено в тригонометрической форме, где модуль $r=4$ и аргумент $\varphi = \frac{7\pi}{3}$.

Найдем значения $\cos\frac{7\pi}{3}$ и $\sin\frac{7\pi}{3}$. Для этого упростим аргумент, используя периодичность тригонометрических функций (период $2\pi$):

$\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$

Следовательно:

$\cos\frac{7\pi}{3} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$\sin\frac{7\pi}{3} = \sin(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$4(\cos\frac{7\pi}{3} + i\sin\frac{7\pi}{3}) = 4(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})$

Раскроем скобки, умножив 4 на действительную и мнимую части:

$4 \cdot \frac{1}{2} + i \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 + 2i\sqrt{3}$

Ответ: $2 + 2i\sqrt{3}$

2) $6(\cos\frac{9\pi}{4} + i\sin\frac{9\pi}{4})$

В этом случае модуль комплексного числа $r=6$ и аргумент $\varphi = \frac{9\pi}{4}$.

Упростим аргумент, выделив целое число оборотов по $2\pi$:

$\frac{9\pi}{4} = \frac{8\pi + \pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$

Вычислим значения косинуса и синуса:

$\cos\frac{9\pi}{4} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\frac{9\pi}{4} = \sin(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим найденные значения в выражение для комплексного числа:

$6(\cos\frac{9\pi}{4} + i\sin\frac{9\pi}{4}) = 6(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})$

Раскроем скобки:

$6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + i \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} + 3i\sqrt{2}$

Ответ: $3\sqrt{2} + 3i\sqrt{2}$