Номер 797, страница 326 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 797, страница 326.

Условие.

Решить уравнение (797–806).

797.1) $ \frac{3}{x+3} - \frac{2}{x-3} = \frac{4}{x^2-9} $

2) $ \frac{5}{x-2} + \frac{2}{x-4} = \frac{11}{x^2-6x+8} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\frac{3}{x+3} - \frac{2}{x-3} = \frac{4}{x^2-9}$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.
$x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$
$x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$
$x^2-9 \neq 0 \implies (x-3)(x+3) \neq 0 \implies x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Таким образом, ОДЗ: $x \neq \pm 3$.

Заметим, что знаменатель в правой части уравнения является произведением знаменателей в левой части: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(x-3)(x+3)$:
$\frac{3(x-3)}{(x+3)(x-3)} - \frac{2(x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{4}{x^2-9}$

$\frac{3(x-3) - 2(x+3)}{x^2-9} = \frac{4}{x^2-9}$

Так как знаменатели равны и не равны нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числители.
$3(x-3) - 2(x+3) = 4$

Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:
$3x - 9 - 2x - 6 = 4$
$x - 15 = 4$
$x = 4 + 15$
$x = 19$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $19 \neq 3$ и $19 \neq -3$, корень является решением уравнения.

Ответ: $19$

2) $\frac{5}{x-2} + \frac{2}{x-4} = \frac{11}{x^2-6x+8}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю.
$x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$
$x-4 \neq 0 \implies x \neq 4$
Разложим знаменатель в правой части на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2-6x+8=0$. По теореме Виета, корни $x_1=2$ и $x_2=4$.
Следовательно, $x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)$.
Знаменатель $x^2-6x+8 \neq 0$ при $x \neq 2$ и $x \neq 4$.
ОДЗ: $x \neq 2$, $x \neq 4$.

Общий знаменатель для всех дробей - это $(x-2)(x-4)$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей, при условии, что он не равен нулю (что учтено в ОДЗ):
$ \frac{5(x-2)(x-4)}{x-2} + \frac{2(x-2)(x-4)}{x-4} = \frac{11(x-2)(x-4)}{(x-2)(x-4)} $

После сокращения дробей получаем:
$5(x-4) + 2(x-2) = 11$

Раскроем скобки и решим уравнение:
$5x - 20 + 2x - 4 = 11$
$7x - 24 = 11$
$7x = 11 + 24$
$7x = 35$
$x = \frac{35}{7}$
$x = 5$

Проверим, входит ли найденное значение в ОДЗ. Так как $5 \neq 2$ и $5 \neq 4$, корень является решением исходного уравнения.

Ответ: $5$