Номер 801, страница 326 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 801, страница 326.

Условие.

801. 1) $\frac{3x-1}{x+2} - \frac{7}{2+x} = \frac{7x^2-28}{x^2-4} + \frac{18}{2-x}$;

2) $\frac{x+1}{x+3} - \frac{12}{x^2-9} = \frac{2-x}{3-x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\frac{3x-1}{x+2} - \frac{7}{2+x} = \frac{7x^2-28}{x^2-4} + \frac{18}{2-x}$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:
$x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$
$x^2-4 = (x-2)(x+2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ и $x \neq -2$
$2-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$
Следовательно, ОДЗ: $x \neq \pm 2$.
Преобразуем уравнение, учитывая, что $2+x=x+2$, $x^2-4=(x-2)(x+2)$, $7x^2-28=7(x^2-4)$ и $2-x=-(x-2)$.
$\frac{3x-1}{x+2} - \frac{7}{x+2} = \frac{7(x^2-4)}{(x-2)(x+2)} - \frac{18}{x-2}$
Объединим дроби в левой части и упростим правую часть:
$\frac{3x-1-7}{x+2} = 7 - \frac{18}{x-2}$
$\frac{3x-8}{x+2} = 7 - \frac{18}{x-2}$
Приведем все члены к общему знаменателю $(x+2)(x-2)$ и умножим на него обе части уравнения:
$(3x-8)(x-2) = 7(x+2)(x-2) - 18(x+2)$
Раскроем скобки:
$3x^2 - 6x - 8x + 16 = 7(x^2 - 4) - 18x - 36$
$3x^2 - 14x + 16 = 7x^2 - 28 - 18x - 36$
$3x^2 - 14x + 16 = 7x^2 - 18x - 64$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$0 = 7x^2 - 3x^2 - 18x + 14x - 64 - 16$
$0 = 4x^2 - 4x - 80$
Разделим уравнение на 4:
$x^2 - x - 20 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 1, произведение равно -20.
$x_1 = 5$, $x_2 = -4$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 2$).
Ответ: $5; -4$.

2) $\frac{x+1}{x+3} - \frac{12}{x^2-9} = \frac{2-x}{3-x}$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:
$x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$
$x^2-9 = (x-3)(x+3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$ и $x \neq -3$
$3-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$
Следовательно, ОДЗ: $x \neq \pm 3$.
Преобразуем уравнение, учитывая, что $x^2-9 = (x-3)(x+3)$ и $3-x=-(x-3)$:
$\frac{x+1}{x+3} - \frac{12}{(x-3)(x+3)} = \frac{2-x}{-(x-3)}$
$\frac{x+1}{x+3} - \frac{12}{(x-3)(x+3)} = \frac{x-2}{x-3}$
Общий знаменатель дробей — $(x-3)(x+3)$. Умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от дробей:
$(x+1)(x-3) - 12 = (x-2)(x+3)$
Раскроем скобки:
$x^2 + x - 3x - 3 - 12 = x^2 - 2x + 3x - 6$
$x^2 - 2x - 15 = x^2 + x - 6$
Сократим $x^2$ в обеих частях и решим полученное линейное уравнение:
$-2x - 15 = x - 6$
$-15 + 6 = x + 2x$
$-9 = 3x$
$x = -3$
Сравним полученный корень с ОДЗ. Мы видим, что $x=-3$ не входит в область допустимых значений, так как при этом значении один из знаменателей исходного уравнения обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.
Ответ: корней нет.