Номер 800, страница 326 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

800. 1) $\frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-1} = 0;$

2) $\frac{2x^2}{3x+1} - 3 = \frac{3x-21}{3x+1}$

Для решения данных рациональных уравнений необходимо привести дроби к общему знаменателю (если это требуется) и учесть область допустимых значений (ОДЗ), так как знаменатель не может быть равен нулю.

1) $\frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-1} = 0$

1. ОДЗ: Знаменатели не равны нулю.
   • $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$
   • $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$
2. Приведение к общему знаменателю: Умножим первую дробь на $(x-1)$, а вторую на $(x+1)$: $$\frac{x(x-1) + x(x+1)}{(x+1)(x-1)} = 0$$
3. Раскрытие скобок в числителе: $$\frac{x^2 - x + x^2 + x}{x^2 - 1} = 0 \Rightarrow \frac{2x^2}{x^2 - 1} = 0$$
4. Решение уравнения: Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю: $$2x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$$
5. Проверка по ОДЗ: Число $0$ не равно $1$ и $-1$, значит корень подходит.

Ответ: 0

2) $\frac{2x^2}{3x+1} - 3 = \frac{3x-21}{3x+1}$

1. ОДЗ: $3x + 1 \neq 0 \Rightarrow 3x \neq -1 \Rightarrow \mathbf{x \neq -\frac{1}{3}}$.
2. Перенос всех членов в одну сторону: $$\frac{2x^2}{3x+1} - \frac{3x-21}{3x+1} - 3 = 0$$
3. Объединение дробей и приведение числа -3 к общему знаменателю: $$\frac{2x^2 - (3x-21) - 3(3x+1)}{3x+1} = 0$$
4. Раскрытие скобок в числителе: $$2x^2 - 3x + 21 - 9x - 3 = 0$$ $$2x^2 - 12x + 18 = 0$$
5. Упрощение уравнения: Разделим обе части на 2: $$x^2 - 6x + 9 = 0$$
6. Решение (формула квадрата разности): $$(x-3)^2 = 0 \Rightarrow x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$
7. Проверка по ОДЗ: Число $3 \neq -\frac{1}{3}$, корень подходит.

Ответ: 3