Номер 798, страница 326 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 798, страница 326.

Условие.

798. 1) $(a-b)x = a^2 + (a+b)x;$

2) $a^2x = a + b + b^2x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $(a - b)x = a^2 + (a + b)x$

Это линейное уравнение относительно переменной $x$ с параметрами $a$ и $b$. Для его решения сгруппируем все слагаемые, содержащие $x$, в одной части уравнения, а остальные — в другой.

Перенесем слагаемое $(a + b)x$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$(a - b)x - (a + b)x = a^2$

Вынесем $x$ за скобки в левой части уравнения:

$x((a - b) - (a + b)) = a^2$

Раскроем скобки внутри скобок и упростим выражение:

$x(a - b - a - b) = a^2$

$x(-2b) = a^2$

Теперь нужно выразить $x$. Для этого разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $-2b$. Это возможно только если $-2b \neq 0$, то есть $b \neq 0$.

Если $b \neq 0$:

$x = \frac{a^2}{-2b}$

$x = -\frac{a^2}{2b}$

Рассмотрим случай, когда $b = 0$. Исходное уравнение примет вид:

$(a - 0)x = a^2 + (a + 0)x$

$ax = a^2 + ax$

Вычтем $ax$ из обеих частей:

$0 = a^2$

Это равенство верно только если $a = 0$.

• Если $b = 0$ и $a = 0$, то исходное уравнение превращается в $0 \cdot x = 0$, что верно для любого значения $x$.
• Если $b = 0$ и $a \neq 0$, то мы получаем неверное равенство $a^2 = 0$, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: при $b \neq 0$, $x = -\frac{a^2}{2b}$; при $a = 0$ и $b = 0$, $x$ — любое число; при $b = 0$ и $a \neq 0$, решений нет.

2) $a^2x = a + b + b^2x$

Сгруппируем все слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения:

$a^2x - b^2x = a + b$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(a^2 - b^2) = a + b$

В левой части используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x(a - b)(a + b) = a + b$

Дальнейшее решение зависит от значений параметров $a$ и $b$. Рассмотрим несколько случаев.

Случай 1: Коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $a^2 - b^2 \neq 0$. Это эквивалентно условиям $a \neq b$ и $a \neq -b$. В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $(a - b)(a + b)$:

$x = \frac{a + b}{(a - b)(a + b)}$

Так как $a \neq -b$, то $a + b \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(a + b)$:

$x = \frac{1}{a - b}$

Случай 2: Коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $a^2 - b^2 = 0$. Это возможно, если $a = b$ или $a = -b$.

Подслучай 2а: $a = b$. Подставим $b=a$ в уравнение $x(a^2 - b^2) = a + b$:

$x(a^2 - a^2) = a + a$

$x \cdot 0 = 2a$

• Если $a \neq 0$ (и, следовательно, $b \neq 0$), то получаем $0 = 2a$, что является неверным равенством. В этом случае решений нет.
• Если $a = 0$ (и, следовательно, $b = 0$), то получаем $0 = 0$. Это верное равенство для любого $x$. Следовательно, $x$ — любое число.

Подслучай 2б: $a = -b$. Подставим $a=-b$ в уравнение $x(a^2 - b^2) = a + b$:

$x(a^2 - (-a)^2) = a + (-a)$

$x(a^2 - a^2) = 0$

$x \cdot 0 = 0$

Это равенство верно при любом значении $x$. Этот случай включает в себя и $a=b=0$.

Соберем все случаи вместе.

Ответ: при $a \neq b$ и $a \neq -b$, $x = \frac{1}{a-b}$; при $a = -b$, $x$ — любое число; при $a = b$ и $a \neq 0$, решений нет.