Номер 793, страница 326 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 793, страница 326.

Условие.

793. Выполнить действия и записать результат в алгебраической форме:

1) $3(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3});$

2) $(1+i)(\cos\frac{3\pi}{8} + i\sin\frac{3\pi}{8})(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8});$

3) $\frac{\cos\frac{7\pi}{10} + i\sin\frac{7\pi}{10}}{\cos\frac{\pi}{5} + i\sin\frac{\pi}{5}};$

4) $\frac{i}{\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы выполнить действие, необходимо перевести комплексное число из тригонометрической формы $z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$ в алгебраическую форму $z = a+bi$. Для этого вычислим значения косинуса и синуса и раскроем скобки.
Дано выражение: $3\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$.
Знаем, что $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставляем эти значения в выражение:
$3\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot \frac{1}{2} + i \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} + i\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2} + i\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

2) Для вычисления произведения $(1+i)\left(\cos\frac{3\pi}{8} + i\sin\frac{3\pi}{8}\right)\left(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}\right)$ удобно все сомножители представить в тригонометрической форме.
Сначала представим число $1+i$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |1+i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Аргумент $\phi = \arctan\frac{1}{1} = \frac{\pi}{4}$.
Таким образом, $1+i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$.
Теперь перемножим два других сомножителя, используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме $z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\phi_1+\phi_2) + i\sin(\phi_1+\phi_2))$:
$\left(\cos\frac{3\pi}{8} + i\sin\frac{3\pi}{8}\right)\left(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi}{8}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi}{8}\right) = \cos\frac{4\pi}{8} + i\sin\frac{4\pi}{8} = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}$.
Теперь умножим результат на первый сомножитель:
$\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) \cdot \left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$.
Переведем результат в алгебраическую форму. Знаем, что $\cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2} = -\frac{2}{2} + i\frac{2}{2} = -1 + i$.
Ответ: $-1+i$.

3) Для выполнения деления $\frac{\cos\frac{7\pi}{10} + i\sin\frac{7\pi}{10}}{\cos\frac{\pi}{5} + i\sin\frac{\pi}{5}}$ используем правило деления комплексных чисел в тригонометрической форме: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\phi_1 - \phi_2) + i\sin(\phi_1 - \phi_2))$.
В данном случае $r_1=1, \phi_1 = \frac{7\pi}{10}$ и $r_2=1, \phi_2 = \frac{\pi}{5}$.
Результат деления: $\cos\left(\frac{7\pi}{10} - \frac{\pi}{5}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi}{10} - \frac{\pi}{5}\right)$.
Найдем разность углов: $\frac{7\pi}{10} - \frac{\pi}{5} = \frac{7\pi}{10} - \frac{2\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}$.
Выражение принимает вид: $\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}$.
Переводим в алгебраическую форму: $0 + i \cdot 1 = i$.
Ответ: $i$.

4) Для вычисления выражения $\frac{i}{\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}}$ представим числитель и знаменатель в тригонометрической форме и выполним деление.
Знаменатель уже в тригонометрической форме: $\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}$.
Представим числитель $i$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |i| = 1$, аргумент $\phi = \frac{\pi}{2}$.
Итак, $i = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}$.
Теперь выполним деление: $\frac{\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}}{\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}$.
Переведем результат в алгебраическую форму. Знаем, что $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Результат: $\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.