Номер 793, страница 326 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 793, страница 326.
№793 (с. 326)
Условие. №793 (с. 326)
скриншот условия

793. Выполнить действия и записать результат в алгебраической форме:
1) $3(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3});$
2) $(1+i)(\cos\frac{3\pi}{8} + i\sin\frac{3\pi}{8})(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8});$
3) $\frac{\cos\frac{7\pi}{10} + i\sin\frac{7\pi}{10}}{\cos\frac{\pi}{5} + i\sin\frac{\pi}{5}};$
4) $\frac{i}{\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}}.$
Решение 1. №793 (с. 326)




Решение 2. №793 (с. 326)

Решение 3. №793 (с. 326)
1) Чтобы выполнить действие, необходимо перевести комплексное число из тригонометрической формы $z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$ в алгебраическую форму $z = a+bi$. Для этого вычислим значения косинуса и синуса и раскроем скобки.
Дано выражение: $3\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$.
Знаем, что $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставляем эти значения в выражение:
$3\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot \frac{1}{2} + i \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} + i\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2} + i\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
2) Для вычисления произведения $(1+i)\left(\cos\frac{3\pi}{8} + i\sin\frac{3\pi}{8}\right)\left(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}\right)$ удобно все сомножители представить в тригонометрической форме.
Сначала представим число $1+i$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |1+i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Аргумент $\phi = \arctan\frac{1}{1} = \frac{\pi}{4}$.
Таким образом, $1+i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$.
Теперь перемножим два других сомножителя, используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме $z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\phi_1+\phi_2) + i\sin(\phi_1+\phi_2))$:
$\left(\cos\frac{3\pi}{8} + i\sin\frac{3\pi}{8}\right)\left(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi}{8}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi}{8}\right) = \cos\frac{4\pi}{8} + i\sin\frac{4\pi}{8} = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}$.
Теперь умножим результат на первый сомножитель:
$\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) \cdot \left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$.
Переведем результат в алгебраическую форму. Знаем, что $\cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2} = -\frac{2}{2} + i\frac{2}{2} = -1 + i$.
Ответ: $-1+i$.
3) Для выполнения деления $\frac{\cos\frac{7\pi}{10} + i\sin\frac{7\pi}{10}}{\cos\frac{\pi}{5} + i\sin\frac{\pi}{5}}$ используем правило деления комплексных чисел в тригонометрической форме: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\phi_1 - \phi_2) + i\sin(\phi_1 - \phi_2))$.
В данном случае $r_1=1, \phi_1 = \frac{7\pi}{10}$ и $r_2=1, \phi_2 = \frac{\pi}{5}$.
Результат деления: $\cos\left(\frac{7\pi}{10} - \frac{\pi}{5}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi}{10} - \frac{\pi}{5}\right)$.
Найдем разность углов: $\frac{7\pi}{10} - \frac{\pi}{5} = \frac{7\pi}{10} - \frac{2\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}$.
Выражение принимает вид: $\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}$.
Переводим в алгебраическую форму: $0 + i \cdot 1 = i$.
Ответ: $i$.
4) Для вычисления выражения $\frac{i}{\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}}$ представим числитель и знаменатель в тригонометрической форме и выполним деление.
Знаменатель уже в тригонометрической форме: $\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}$.
Представим числитель $i$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |i| = 1$, аргумент $\phi = \frac{\pi}{2}$.
Итак, $i = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}$.
Теперь выполним деление: $\frac{\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}}{\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}$.
Переведем результат в алгебраическую форму. Знаем, что $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Результат: $\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 793 расположенного на странице 326 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №793 (с. 326), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.