Номер 806, страница 327 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 806, страница 327.

Условие.

806. 1) $x^2 + ax - b^2 + \frac{a^2}{4} = 0;$

2) $\frac{2x}{2x-a} - \frac{x}{2x+a} = \frac{5a^2}{4x^2-a^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дано квадратное уравнение $x^2 + ax - b^2 + \frac{a^2}{4} = 0$.

Для решения сгруппируем члены уравнения, чтобы выделить полный квадрат относительно переменной $x$.

$x^2 + ax + \frac{a^2}{4} - b^2 = 0$

Первые три слагаемых представляют собой формулу квадрата суммы $(x + \frac{a}{2})^2$. Подставим это в уравнение:

$(x + \frac{a}{2})^2 - b^2 = 0$

Теперь мы имеем разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = x + \frac{a}{2}$ и $B=b$.

$(x + \frac{a}{2} - b)(x + \frac{a}{2} + b) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Это дает нам два линейных уравнения:

$x + \frac{a}{2} - b = 0 \quad$ или $\quad x + \frac{a}{2} + b = 0$

Решая каждое из них, находим корни:

$x_1 = b - \frac{a}{2}$

$x_2 = -b - \frac{a}{2}$

Ответ: $x_1 = b - \frac{a}{2}$; $x_2 = -b - \frac{a}{2}$.

2) Дано дробно-рациональное уравнение $\frac{2x}{2x-a} - \frac{x}{2x+a} = \frac{5a^2}{4x^2-a^2}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль.

$2x-a \neq 0 \implies x \neq \frac{a}{2}$

$2x+a \neq 0 \implies x \neq -\frac{a}{2}$

Знаменатель в правой части уравнения $4x^2 - a^2$ раскладывается на множители как $(2x-a)(2x+a)$, поэтому ОДЗ: $x \neq \pm\frac{a}{2}$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(2x-a)(2x+a)$:

$\frac{2x(2x+a) - x(2x-a)}{(2x-a)(2x+a)} = \frac{5a^2}{(2x-a)(2x+a)}$

В области допустимых значений можно умножить обе части уравнения на общий знаменатель $(2x-a)(2x+a) \neq 0$ и приравнять числители:

$2x(2x+a) - x(2x-a) = 5a^2$

Раскроем скобки в левой части:

$4x^2 + 2ax - 2x^2 + ax = 5a^2$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 3ax - 5a^2 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $x$. Решим его с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $A=2$, $B=3a$, $C=-5a^2$.

$D = B^2 - 4AC = (3a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5a^2) = 9a^2 + 40a^2 = 49a^2 = (7a)^2$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{-3a \pm \sqrt{(7a)^2}}{2 \cdot 2} = \frac{-3a \pm 7a}{4}$

Вычислим два корня:

$x_1 = \frac{-3a + 7a}{4} = \frac{4a}{4} = a$

$x_2 = \frac{-3a - 7a}{4} = \frac{-10a}{4} = -\frac{5a}{2}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ, если $a \neq 0$. Если $a=0$, то исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: $x_1 = a$; $x_2 = -\frac{5a}{2}$.