Номер 783, страница 325 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 783, страница 325.

Условие.

783. Упростить выражение $ \frac{2 - 3\sin^2 \alpha}{\cos2\alpha} - \frac{\sin\alpha + 2\cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} $ и найти его числовое значение при $ \alpha = -\frac{\pi}{8} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Упростить выражение

Данное выражение:

$$ \frac{2 - 3\sin^2\alpha}{\cos(2\alpha)} - \frac{\sin\alpha + 2\cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} $$

Упростим каждую дробь по отдельности. Для первой дроби преобразуем числитель, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$:

$2 - 3\sin^2\alpha = (1 - 2\sin^2\alpha) + (1 - \sin^2\alpha) = \cos(2\alpha) + \cos^2\alpha$

Тогда первая дробь примет вид:

$$ \frac{\cos(2\alpha) + \cos^2\alpha}{\cos(2\alpha)} = \frac{\cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} + \frac{\cos^2\alpha}{\cos(2\alpha)} = 1 + \frac{\cos^2\alpha}{\cos(2\alpha)} $$

Теперь преобразуем вторую дробь, выделив в числителе знаменатель:

$\sin\alpha + 2\cos\alpha = (\sin\alpha + \cos\alpha) + \cos\alpha$

Тогда вторая дробь примет вид:

$$ \frac{(\sin\alpha + \cos\alpha) + \cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} = \frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} = 1 + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} $$

Подставим упрощенные дроби обратно в исходное выражение:

$$ \left(1 + \frac{\cos^2\alpha}{\cos(2\alpha)}\right) - \left(1 + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}\right) = 1 + \frac{\cos^2\alpha}{\cos(2\alpha)} - 1 - \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{\cos(2\alpha)} - \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} $$

Приведем полученные дроби к общему знаменателю $\cos(2\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha)$:

$$ \frac{\cos^2\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha) - \cos\alpha \cdot \cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha)} $$

Вынесем в числителе общий множитель $\cos\alpha$ за скобки:

$$ \frac{\cos\alpha[\cos\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha) - \cos(2\alpha)]}{\cos(2\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha)} $$

Упростим выражение в квадратных скобках, используя формулу $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$:

$\cos\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha) - (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = \sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha - \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = \sin\alpha\cos\alpha + \sin^2\alpha$

Вынесем $\sin\alpha$ за скобки: $\sin\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)$.

Подставим это обратно в числитель всей дроби:

$$ \frac{\cos\alpha \cdot \sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)}{\cos(2\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha)} $$

Сократим дробь на $(\sin\alpha + \cos\alpha)$ (это допустимо, так как в области определения исходного выражения $\sin\alpha + \cos\alpha \neq 0$):

$$ \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\cos(2\alpha)} $$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, откуда $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$:

$$ \frac{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{1}{2}\tan(2\alpha) $$

Ответ: $\frac{1}{2}\tan(2\alpha)$

найти его числовое значение при $\alpha = -\frac{\pi}{8}$

Подставим значение $\alpha = -\frac{\pi}{8}$ в упрощенное выражение $\frac{1}{2}\tan(2\alpha)$:

$$ \frac{1}{2}\tan\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{8}\right)\right) = \frac{1}{2}\tan\left(-\frac{2\pi}{8}\right) = \frac{1}{2}\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) $$

Так как тангенс является нечетной функцией, то есть $\tan(-x) = -\tan(x)$, имеем:

$$ \frac{1}{2}\left(-\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) $$

Мы знаем, что значение $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$. Подставим это значение:

$$ \frac{1}{2} \cdot (-1) = -\frac{1}{2} $$

Ответ: $-\frac{1}{2}$