Номер 782, страница 325 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 782, страница 325.

Условие.

782. Вычислить $\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}$, если $ctg \alpha = \frac{3}{4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение:

Для того чтобы вычислить значение выражения $\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}$, имея значение $\text{ctg}\alpha = \frac{3}{4}$, преобразуем данное выражение так, чтобы оно содержало только $\text{ctg}\alpha$.

Разделим числитель и знаменатель дроби на $\sin^2\alpha$. Это преобразование допустимо, поскольку если бы $\sin\alpha = 0$, то котангенс был бы не определен, что противоречит условию задачи.

$\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha}}{\frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}} = \frac{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}{\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}}$

Используя определение котангенса $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, получаем выражение:

$\frac{\text{ctg}\alpha}{1 - \text{ctg}^2\alpha}$

Теперь подставим в него заданное значение $\text{ctg}\alpha = \frac{3}{4}$ и выполним вычисления:

$\frac{\frac{3}{4}}{1 - (\frac{3}{4})^2} = \frac{\frac{3}{4}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{16-9}{16}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{7}{16}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{7} = \frac{3 \cdot 4}{7} = \frac{12}{7}$

Ответ: $\frac{12}{7}$