Номер 780, страница 325 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 780, страница 325.

Условие.

780. 1) $\frac{4\sin^2 \alpha - \sin^2 2\alpha}{4 - 4\sin^2 \alpha - \sin^2 2\alpha}$;

2) $\frac{\operatorname{tg}^2 2\alpha \operatorname{tg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{tg}^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 2\alpha}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Упростим выражение $\frac{4\sin^2\alpha - \sin^2 2\alpha}{4 - 4\sin^2\alpha - \sin^2 2\alpha}$.
Для упрощения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Возведя в квадрат, получим $\sin^2 2\alpha = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.
Преобразуем числитель дроби:
$4\sin^2\alpha - \sin^2 2\alpha = 4\sin^2\alpha - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 4\sin^2\alpha(1 - \cos^2\alpha)$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.
Тогда числитель равен: $4\sin^2\alpha \cdot \sin^2\alpha = 4\sin^4\alpha$.
Теперь преобразуем знаменатель дроби:
$4 - 4\sin^2\alpha - \sin^2 2\alpha = 4(1 - \sin^2\alpha) - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.
Используя тождество $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$, получаем:
$4\cos^2\alpha - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 4\cos^2\alpha(1 - \sin^2\alpha) = 4\cos^2\alpha \cdot \cos^2\alpha = 4\cos^4\alpha$.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:
$\frac{4\sin^4\alpha}{4\cos^4\alpha} = \frac{\sin^4\alpha}{\cos^4\alpha} = \left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^4 = \tg^4\alpha$.
Ответ: $\tg^4\alpha$.

2) Упростим выражение $\frac{\tg^2 2\alpha \tg^2\alpha - 1}{\tg^2\alpha - \tg^2 2\alpha}$.
Вынесем знак минус из знаменателя и числителя, чтобы изменить их вид:
$\frac{\tg^2 2\alpha \tg^2\alpha - 1}{\tg^2\alpha - \tg^2 2\alpha} = \frac{-(1 - \tg^2 2\alpha \tg^2\alpha)}{-(\tg^2 2\alpha - \tg^2\alpha)} = \frac{1 - \tg^2 2\alpha \tg^2\alpha}{\tg^2 2\alpha - \tg^2\alpha}$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к числителю и знаменателю.
Числитель: $1^2 - (\tg 2\alpha \tg\alpha)^2 = (1 - \tg 2\alpha \tg\alpha)(1 + \tg 2\alpha \tg\alpha)$.
Знаменатель: $\tg^2 2\alpha - \tg^2\alpha = (\tg 2\alpha - \tg\alpha)(\tg 2\alpha + \tg\alpha)$.
Дробь примет вид: $\frac{(1 - \tg 2\alpha \tg\alpha)(1 + \tg 2\alpha \tg\alpha)}{(\tg 2\alpha - \tg\alpha)(\tg 2\alpha + \tg\alpha)}$.
Перегруппируем множители в виде произведения двух дробей:
$\frac{1 - \tg 2\alpha \tg\alpha}{\tg 2\alpha + \tg\alpha} \cdot \frac{1 + \tg 2\alpha \tg\alpha}{\tg 2\alpha - \tg\alpha}$.
Вспомним формулы тангенса суммы и разности углов:
$\tg(A+B) = \frac{\tg A + \tg B}{1 - \tg A \tg B}$ и $\tg(A-B) = \frac{\tg A - \tg B}{1 + \tg A \tg B}$.
Первый множитель является обратным к $\tg(2\alpha + \alpha)$:
$\frac{1 - \tg 2\alpha \tg\alpha}{\tg 2\alpha + \tg\alpha} = \frac{1}{\frac{\tg 2\alpha + \tg\alpha}{1 - \tg 2\alpha \tg\alpha}} = \frac{1}{\tg(3\alpha)} = \ctg(3\alpha)$.
Второй множитель является обратным к $\tg(2\alpha - \alpha)$:
$\frac{1 + \tg 2\alpha \tg\alpha}{\tg 2\alpha - \tg\alpha} = \frac{1}{\frac{\tg 2\alpha - \tg\alpha}{1 + \tg 2\alpha \tg\alpha}} = \frac{1}{\tg(\alpha)} = \ctg\alpha$.
Итоговое выражение является произведением этих двух результатов: $\ctg(3\alpha) \cdot \ctg\alpha$.
Ответ: $\ctg\alpha\ctg(3\alpha)$.