Номер 2.2.1, страница 30 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.2.1. Определите число витков в круглом проводящем контуре радиусом 20 см, вращающемся в однородном магнитном поле с индукцией 0,25 Тл и частотой 10 с$^{\text{-1}}$, если амплитудное значение ЭДС равно 19,7 В. (Ответ: 10 витков.)

Дано:

Радиус контура, $r = 20$ см
Магнитная индукция, $B = 0,25$ Тл
Частота вращения, $f = 10 \text{ с}^{-1}$ (10 Гц)
Амплитудное значение ЭДС, $\mathcal{E}_{max} = 19,7$ В

$r = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$

Найти:

Число витков, $N$

Решение:

ЭДС индукции, возникающая в контуре, вращающемся в однородном магнитном поле, определяется по закону Фарадея: $\mathcal{E} = - \frac{d\Phi}{dt}$, где $\Phi$ - магнитный поток.

Магнитный поток через катушку, состоящую из $N$ витков площадью $S$ каждый, равен $\Phi = N B S \cos(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и вектором нормали к плоскости контура.

При равномерном вращении контура с угловой частотой $\omega$ угол $\alpha$ изменяется со временем по закону $\alpha(t) = \omega t$. Следовательно, магнитный поток изменяется по закону: $\Phi(t) = N B S \cos(\omega t)$.

Подставляя выражение для потока в закон Фарадея, находим ЭДС индукции:

$\mathcal{E}(t) = - \frac{d}{dt}(N B S \cos(\omega t)) = -NBS(-\omega \sin(\omega t)) = NBS\omega \sin(\omega t)$.

Амплитудное (максимальное) значение ЭДС $\mathcal{E}_{max}$ достигается, когда $\sin(\omega t)$ принимает максимальное значение, равное 1:

$\mathcal{E}_{max} = N B S \omega$.

Площадь круглого контура $S$ вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Угловая частота $\omega$ связана с частотой вращения $f$ соотношением $\omega = 2\pi f$.

Подставим эти выражения в формулу для амплитуды ЭДС:

$\mathcal{E}_{max} = N B (\pi r^2) (2\pi f) = 2\pi^2 N B f r^2$.

Из этого уравнения выразим искомое число витков $N$:

$N = \frac{\mathcal{E}_{max}}{2\pi^2 B f r^2}$.

Подставим заданные значения в систему СИ:

$N = \frac{19,7}{2 \cdot \pi^2 \cdot 0,25 \cdot 10 \cdot (0,2)^2} = \frac{19,7}{2 \cdot \pi^2 \cdot 0,25 \cdot 10 \cdot 0,04}$

$N = \frac{19,7}{2 \cdot \pi^2 \cdot 0,1} = \frac{19,7}{0,2 \pi^2}$

Принимая $\pi^2 \approx 9,87$, получаем:

$N \approx \frac{19,7}{0,2 \cdot 9,87} = \frac{19,7}{1,974} \approx 9,98$

Поскольку число витков может быть только целым числом, округляем полученный результат до ближайшего целого.

Ответ: $N \approx 10$ витков.