Номер 2.7.2, страница 66, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.7.2. Найдите диаметр медного провода для линии электропередачи длиной 10 км при напряжении 220 В, если потребителю нужно передать мощность 0,1 кВт. Потери мощности на нагревание проводов составляют 5% от передаваемой мощности. Коэффициент мощности $cos \varphi = 0,8$. Удельное сопротивление меди составляет $1,7 \cdot 10^{-8}$ Ом $\cdot$ м. (Ответ: 5,3 мм.)

Дано:

$l = 10$ км

$U = 220$ В

$P_{потр} = 0,1$ кВт

$\eta_{потерь} = 5\%$

$\cos \varphi = 0,8$

$\rho = 1,7 \cdot 10^{-8}$ Ом $\cdot$ м

$l = 10 \cdot 10^3$ м

$P_{потр} = 0,1 \cdot 10^3$ Вт $= 100$ Вт

$\eta_{потерь} = 0,05$

Найти:

$d$ - ?

Решение:

Мощность, которую необходимо передать потребителю, является активной мощностью. Она связана с напряжением $U$, силой тока в линии $I$ и коэффициентом мощности $\cos \varphi$ соотношением:

$P_{потр} = U I \cos \varphi$

Отсюда можем выразить и найти силу тока в линии электропередачи:

$I = \frac{P_{потр}}{U \cos \varphi} = \frac{100 \text{ Вт}}{220 \text{ В} \cdot 0,8} = \frac{100}{176} \text{ А} \approx 0,568 \text{ А}$

Потери мощности $\Delta P$ на нагревание проводов составляют 5% от передаваемой мощности $P_{потр}$:

$\Delta P = \eta_{потерь} \cdot P_{потр} = 0,05 \cdot 100 \text{ Вт} = 5 \text{ Вт}$

С другой стороны, потери мощности в проводах определяются законом Джоуля-Ленца:

$\Delta P = I^2 R_{л}$

где $R_{л}$ — полное сопротивление проводов линии электропередачи. Выразим отсюда сопротивление линии:

$R_{л} = \frac{\Delta P}{I^2} = \frac{5 \text{ Вт}}{(\frac{100}{176} \text{ А})^2} = \frac{5 \cdot 176^2}{100^2} = \frac{5 \cdot 30976}{10000} = 15,488 \text{ Ом}$

Сопротивление линии электропередачи также зависит от удельного сопротивления материала провода $\rho$, его длины и площади поперечного сечения. Так как линия состоит из двух проводов (прямого и обратного), то общая длина провода $L$ равна удвоенной длине линии $l$: $L = 2l$.

$R_{л} = \rho \frac{L}{S} = \rho \frac{2l}{S}$

Площадь поперечного сечения провода $S$ связана с его диаметром $d$ формулой:

$S = \frac{\pi d^2}{4}$

Подставим выражение для площади в формулу сопротивления:

$R_{л} = \rho \frac{2l}{\frac{\pi d^2}{4}} = \frac{8 \rho l}{\pi d^2}$

Из этой формулы выразим искомый диаметр провода $d$:

$d^2 = \frac{8 \rho l}{\pi R_{л}} \Rightarrow d = \sqrt{\frac{8 \rho l}{\pi R_{л}}}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$d = \sqrt{\frac{8 \cdot 1,7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot 10 \cdot 10^3 \text{ м}}{\pi \cdot 15,488 \text{ Ом}}} = \sqrt{\frac{13,6 \cdot 10^{-4}}{48,657}} \approx \sqrt{2,795 \cdot 10^{-5}} \text{ м}$

$d \approx 0,005287 \text{ м}$

Переведем результат в миллиметры:

$d \approx 5,287 \text{ мм}$

Округлив до десятых, получаем $d \approx 5,3$ мм.

Ответ: $d \approx 5,3 \text{ мм}$.