Номер 4.3.8, страница 121, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

4.3.8. Радиоприемник может принимать радиоволны в диапазоне от 3 до 50 МГц. Индуктивность катушки его колебательного контура может изменяться от 2 до 5 мкГн. В каких пределах изменяется емкость конденсатора колебательного контура этого радиоприемника? (Ответ: от 2 пФ до 1,4 нФ.)

Дано:

$f_{min} = 3 \text{ МГц}$

$f_{max} = 50 \text{ МГц}$

$L_{min} = 2 \text{ мкГн}$

$L_{max} = 5 \text{ мкГн}$

Перевод в систему СИ:

$f_{min} = 3 \times 10^6 \text{ Гц}$

$f_{max} = 50 \times 10^6 \text{ Гц} = 5 \times 10^7 \text{ Гц}$

$L_{min} = 2 \times 10^{-6} \text{ Гн}$

$L_{max} = 5 \times 10^{-6} \text{ Гн}$

Найти:

Диапазон изменения емкости конденсатора $C_{min} - C_{max}$.

Решение:

Резонансная частота колебательного контура определяется формулой Томсона:

$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Из этой формулы выразим емкость конденсатора $C$:

$f^2 = \frac{1}{4\pi^2LC}$

$C = \frac{1}{4\pi^2f^2L}$

Из полученной формулы видно, что емкость $C$ обратно пропорциональна квадрату частоты $f^2$ и индуктивности $L$.

Чтобы найти диапазон изменения емкости конденсатора, необходимо найти ее минимальное и максимальное возможные значения. Для этого радиоприемник должен иметь возможность настройки на любую частоту из заданного диапазона при любом значении индуктивности из своего диапазона.

Максимальное значение емкости $C_{max}$ потребуется для настройки на самую низкую частоту $f_{min}$ при самой низкой индуктивности $L_{min}$, так как для получения максимального $C$ знаменатель $f^2L$ должен быть минимальным.

$C_{max} = \frac{1}{4\pi^2f_{min}^2L_{min}}$

Подставим значения:

$C_{max} = \frac{1}{4\pi^2(3 \times 10^6 \text{ Гц})^2(2 \times 10^{-6} \text{ Гн})} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 9 \cdot 10^{12} \cdot 2 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{72\pi^2 \cdot 10^6} \text{ Ф}$

Используя $\pi^2 \approx 9.87$, получим:

$C_{max} \approx \frac{1}{72 \cdot 9.87 \cdot 10^6} \approx \frac{1}{710.6 \cdot 10^6} \approx 1.407 \times 10^{-9} \text{ Ф} \approx 1.4 \text{ нФ}$

Минимальное значение емкости $C_{min}$ потребуется для настройки на самую высокую частоту $f_{max}$ при самой высокой индуктивности $L_{max}$, так как для получения минимального $C$ знаменатель $f^2L$ должен быть максимальным.

$C_{min} = \frac{1}{4\pi^2f_{max}^2L_{max}}$

Подставим значения:

$C_{min} = \frac{1}{4\pi^2(50 \times 10^6 \text{ Гц})^2(5 \times 10^{-6} \text{ Гн})} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 2500 \cdot 10^{12} \cdot 5 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{50000\pi^2 \cdot 10^6} \text{ Ф}$

$C_{min} = \frac{1}{5\pi^2 \cdot 10^{10}} \text{ Ф}$

Используя $\pi^2 \approx 9.87$, получим:

$C_{min} \approx \frac{1}{5 \cdot 9.87 \cdot 10^{10}} \approx \frac{1}{49.35 \cdot 10^{10}} \approx 2.026 \times 10^{-12} \text{ Ф} \approx 2 \text{ пФ}$

Таким образом, емкость конденсатора должна изменяться в пределах от 2 пФ до 1,4 нФ.

Ответ: емкость конденсатора изменяется в пределах от 2 пФ до 1,4 нФ.