Номер 5.3.9, страница 149, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

5.3.9. Какова ширина всего спектра второго порядка (длины волн заключены в пределах от 380 нм до 760 нм), полученного на экране, отстоящем на 2 м от дифракционной решетки с периодом 0,01 мм? (Ответ: 15,2 см.)

Дано:

Порядок спектра, $k = 2$

Минимальная длина волны (фиолетовый), $\lambda_1 = 380 \text{ нм}$

Максимальная длина волны (красный), $\lambda_2 = 760 \text{ нм}$

Расстояние до экрана, $L = 2 \text{ м}$

Период дифракционной решетки, $d = 0,01 \text{ мм}$

Перевод в систему СИ:

$\lambda_1 = 380 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

$\lambda_2 = 760 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

$d = 0,01 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 10^{-5} \text{ м}$

Найти:

Ширина спектра второго порядка, $\Delta x$

Решение:

Условие дифракционных максимумов для дифракционной решетки имеет вид:

$d \sin{\varphi} = k \lambda$

где $d$ - период решетки, $\varphi$ - угол, под которым наблюдается максимум, $k$ - порядок максимума, $\lambda$ - длина волны.

Положение максимума на экране $x$ на расстоянии $L$ от решетки можно найти из соотношения:

$\tan{\varphi} = \frac{x}{L}$

Для малых углов дифракции (что характерно для подобных задач) можно использовать приближение $\sin{\varphi} \approx \tan{\varphi}$. Проверим справедливость этого приближения для максимального угла (для красного света):

$\sin{\varphi_2} = \frac{k \lambda_2}{d} = \frac{2 \cdot 760 \cdot 10^{-9}}{10^{-5}} = \frac{1520 \cdot 10^{-9}}{10^{-5}} = 0,152$

Это значение достаточно мало, поэтому приближение $\sin{\varphi} \approx \tan{\varphi}$ является допустимым.

Тогда, объединяя формулы, получаем:

$d \frac{x}{L} \approx k \lambda$

Отсюда можно выразить положение максимума на экране:

$x \approx \frac{k \lambda L}{d}$

Ширина спектра $\Delta x$ - это разность между положениями максимумов для красного ($\lambda_2$) и фиолетового ($\lambda_1$) света:

$\Delta x = x_2 - x_1$

Подставим выражение для $x$:

$\Delta x = \frac{k \lambda_2 L}{d} - \frac{k \lambda_1 L}{d} = \frac{kL}{d}(\lambda_2 - \lambda_1)$

Теперь подставим числовые значения:

$\Delta x = \frac{2 \cdot 2}{10^{-5}}(760 \cdot 10^{-9} - 380 \cdot 10^{-9}) = \frac{4}{10^{-5}}(380 \cdot 10^{-9})$

$\Delta x = 4 \cdot 10^5 \cdot 380 \cdot 10^{-9} = 1520 \cdot 10^{-4} \text{ м} = 0,152 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры:

$\Delta x = 0,152 \text{ м} = 15,2 \text{ см}$

Ответ: 15,2 см.