Номер 5.3.6, страница 148, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

5.3.6. На дифракционную решетку, содержащую 400 штрихов на 1 мм, падает нормально монохроматический свет ($\lambda = 0,6$ мкм). Найдите общее число дифракционных максимумов, которые дает эта решетка. Определите угол дифракции $\varphi$, соответствующий последнему максимуму. (Ответ: 9; 74°.)

Дано:

Число штрихов на 1 мм, $n_0 = 400 \text{ мм}^{-1}$

Длина волны света, $λ = 0,6 \text{ мкм}$

Переведем величины в систему СИ:

Число штрихов на 1 м: $n = \frac{400}{1 \text{ мм}} = \frac{400}{10^{-3} \text{ м}} = 4 \cdot 10^5 \text{ м}^{-1}$

Длина волны: $λ = 0,6 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Найти:

Общее число дифракционных максимумов $N$

Угол дифракции, соответствующий последнему максимуму $φ_{max}$

Решение:

Сначала определим период дифракционной решетки $d$. Период решетки — это расстояние между соседними штрихами, он является величиной, обратной числу штрихов на единицу длины $n$.

$d = \frac{1}{n} = \frac{1}{4 \cdot 10^5 \text{ м}^{-1}} = 0,25 \cdot 10^{-5} \text{ м} = 2,5 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Условие наблюдения главных максимумов в спектре, полученном с помощью дифракционной решетки при нормальном падении света, определяется формулой:

$d \sin φ = kλ$

где $φ$ — угол дифракции, $k$ — целое число, называемое порядком максимума ($k=0, \pm1, \pm2, \ldots$).

Найдите общее число дифракционных максимумов, которые дает эта решетка.

Чтобы найти максимальный возможный порядок максимума $k_{max}$, воспользуемся тем, что синус угла не может превышать 1: $\sin φ \le 1$.

Из формулы дифракционной решетки: $\sin φ = \frac{kλ}{d}$.

Следовательно, $\frac{kλ}{d} \le 1$, что дает $k \le \frac{d}{λ}$.

Подставим известные значения:

$k \le \frac{2,5 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{0,6 \cdot 10^{-6} \text{ м}} = \frac{2,5}{0,6} \approx 4,167$

Поскольку порядок максимума $k$ должен быть целым числом, максимальный порядок $k_{max}$ равен целой части от полученного значения, то есть $k_{max} = 4$.

Таким образом, наблюдаются максимумы следующих порядков: $k = 0, \pm1, \pm2, \pm3, \pm4$.

Общее число максимумов $N$ включает в себя центральный максимум ($k=0$) и по два максимума для каждого порядка от 1 до $k_{max}$.

$N = 2 \cdot k_{max} + 1 = 2 \cdot 4 + 1 = 9$

Ответ: 9.

Определите угол дифракции φ, соответствующий последнему максимуму.

Последний максимум соответствует максимальному порядку $k_{max}=4$. Угол дифракции $φ_{max}$ для этого максимума найдем из формулы решетки:

$d \sin φ_{max} = k_{max}λ$

$\sin φ_{max} = \frac{k_{max}λ}{d}$

Подставим значения:

$\sin φ_{max} = \frac{4 \cdot 0,6 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{2,5 \cdot 10^{-6} \text{ м}} = \frac{2,4}{2,5} = 0,96$

Теперь найдем сам угол:

$φ_{max} = \arcsin(0,96) \approx 73,74^\circ$

Округляя результат, получаем $φ_{max} \approx 74^\circ$.

Ответ: $74^\circ$.