Номер 5.3.8, страница 149, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

5.3.8. Период дифракционной решетки, на которую нормально падает монохроматическая волна, равен 7 мкм. Определите длину волны, если угол между дифракционными максимумами первого и третьего порядков равен 8°. Углы считать малыми. (Ответ: 499 нм.)

Дано:

Период дифракционной решетки, $d = 7$ мкм

Порядок первого максимума, $k_1 = 1$

Порядок третьего максимума, $k_2 = 3$

Угол между максимумами, $\Delta\phi = 8^\circ$

Перевод в систему СИ:

$d = 7 \times 10^{-6}$ м

$\Delta\phi = 8^\circ = 8 \cdot \frac{\pi}{180}$ рад $\approx 0,1396$ рад

Найти:

Длину волны, $\lambda$

Решение:

Условие наблюдения дифракционных максимумов при нормальном падении света на решетку определяется формулой:

$d \sin\phi_k = k \lambda$

где $d$ — период решетки, $\phi_k$ — угол, под которым наблюдается максимум $k$-го порядка, $\lambda$ — длина волны света, $k$ — порядок максимума ($k = 0, 1, 2, ...$).

Запишем это условие для максимумов первого ($k_1 = 1$) и третьего ($k_2 = 3$) порядков:

$d \sin\phi_1 = 1 \cdot \lambda$

$d \sin\phi_3 = 3 \cdot \lambda$

В условии задачи указано, что углы следует считать малыми. Для малых углов, выраженных в радианах, выполняется приближенное равенство $\sin\phi \approx \phi$. Применим это приближение к нашим уравнениям:

$d \phi_1 \approx \lambda \implies \phi_1 \approx \frac{\lambda}{d}$

$d \phi_3 \approx 3\lambda \implies \phi_3 \approx \frac{3\lambda}{d}$

Угол $\Delta\phi$ между максимумами первого и третьего порядков — это разность углов, под которыми они наблюдаются:

$\Delta\phi = \phi_3 - \phi_1$

Подставим в это выражение найденные приближения для углов $\phi_1$ и $\phi_3$:

$\Delta\phi \approx \frac{3\lambda}{d} - \frac{\lambda}{d} = \frac{2\lambda}{d}$

Теперь из полученного соотношения можно выразить длину волны $\lambda$:

$\lambda \approx \frac{d \cdot \Delta\phi}{2}$

Подставим числовые значения из условия, используя значение угла $\Delta\phi$ в радианах:

$\lambda \approx \frac{7 \times 10^{-6} \text{ м} \cdot (8 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад})}{2}$

$\lambda \approx \frac{7 \times 10^{-6} \text{ м} \cdot 0,1396}{2} \approx \frac{0,9772 \times 10^{-6} \text{ м}}{2} \approx 0,4886 \times 10^{-6}$ м

Для удобства переведем результат в нанометры ($1$ нм $= 10^{-9}$ м):

$\lambda \approx 488,6 \times 10^{-9} \text{ м} = 488,6$ нм.

Округлим полученный результат.

Ответ: $\lambda \approx 489$ нм.