Номер 5.3.5, страница 148, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

5.3.5. На щель шириной 0,1 мм падает нормально монохроматический свет с длиной волны 0,5 мкм. Дифракционная картина наблюдается на экране, расположенном параллельно щели. Определите расстояние от щели до экрана, если ширина центрального дифракционного максимума равна 1 см. (Ответ: 1 м.)

Дано:

Ширина щели $a = 0,1$ мм

Длина волны $\lambda = 0,5$ мкм

Ширина центрального дифракционного максимума $\Delta x = 1$ см

$a = 0,1 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 10^{-4} \text{ м}$

$\lambda = 0,5 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

$\Delta x = 1 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

Расстояние от щели до экрана $L$

Решение:

При дифракции света на одной щели наблюдается дифракционная картина, состоящая из чередующихся светлых и темных полос. Положение дифракционных минимумов (темных полос) определяется условием:

$a \sin\varphi = m\lambda$

где $a$ — ширина щели, $\varphi$ — угол, под которым наблюдается минимум, $m$ — порядок минимума ($m = \pm1, \pm2, \dots$), $\lambda$ — длина волны света.

Центральный дифракционный максимум расположен между первыми минимумами, соответствующими $m=1$ и $m=-1$. Таким образом, угловое расстояние от центра картины до первого минимума определяется из условия:

$a \sin\varphi_1 = \lambda$

Расстояние от центрального максимума до первого минимума на экране, расположенном на расстоянии $L$ от щели, равно $x_1 = L \tan\varphi_1$.

Ширина центрального максимума $\Delta x$ равна удвоенному расстоянию от центра до первого минимума:

$\Delta x = 2x_1 = 2L \tan\varphi_1$

В большинстве случаев углы дифракции малы, поэтому можно использовать приближение $\sin\varphi \approx \tan\varphi$.

Тогда из условия для первого минимума получаем: $\tan\varphi_1 \approx \sin\varphi_1 = \frac{\lambda}{a}$.

Подставим это выражение в формулу для ширины центрального максимума:

$\Delta x = 2L \frac{\lambda}{a}$

Выразим из этой формулы искомое расстояние $L$:

$L = \frac{\Delta x \cdot a}{2\lambda}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$L = \frac{1 \cdot 10^{-2} \text{ м} \cdot 10^{-4} \text{ м}}{2 \cdot 0,5 \cdot 10^{-6} \text{ м}} = \frac{10^{-6} \text{ м}^2}{1 \cdot 10^{-6} \text{ м}} = 1 \text{ м}$

Ответ: 1 м.