Номер 5.3.3, страница 148, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

5.3.3. На дифракционную решетку, имеющую 400 штрихов на 1 мм, падает монохроматический свет с длиной волны 500 нм. Свет падает на решетку перпендикулярно. Какой наибольший порядок спектра можно наблюдать? (Ответ: 5.)

Дано:

Число штрихов на 1 мм, $N = 400$ шт/мм

Длина волны монохроматического света, $\lambda = 500$ нм

Свет падает перпендикулярно решетке.

$N = 400 \text{ мм}^{-1} = 400 \times 10^3 \text{ м}^{-1} = 4 \times 10^5 \text{ м}^{-1}$

$\lambda = 500 \text{ нм} = 500 \times 10^{-9} \text{ м} = 5 \times 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

Наибольший порядок спектра, $k_{max}$

Решение:

Условие наблюдения дифракционных максимумов при нормальном падении света на решетку определяется формулой дифракционной решетки:

$d \sin\varphi = k\lambda$

где $d$ — период дифракционной решетки, $\varphi$ — угол дифракции, под которым наблюдается максимум, $k$ — порядок спектра (целое число: 0, ±1, ±2, ...), $\lambda$ — длина волны света.

Период дифракционной решетки $d$ (расстояние между соседними штрихами) можно найти как величину, обратную числу штрихов на единицу длины $N$:

$d = \frac{1}{N}$

Рассчитаем период решетки в системе СИ:

$d = \frac{1}{4 \times 10^5 \text{ м}^{-1}} = 0.25 \times 10^{-5} \text{ м} = 2.5 \times 10^{-6} \text{ м}$.

Наибольший порядок спектра $k_{max}$ соответствует максимальному возможному значению угла дифракции $\varphi$. Максимальное значение, которое может принимать синус угла, равно 1 (т.е. $\sin\varphi \le 1$), что соответствует углу $\varphi = 90^\circ$. Если бы синус был больше 1, то такого угла не существовало бы, и соответствующий максимум не наблюдался бы.

Из формулы дифракционной решетки выразим $k$:

$k = \frac{d \sin\varphi}{\lambda}$

Так как $\sin\varphi \le 1$, то для существования спектра k-го порядка должно выполняться условие:

$k \le \frac{d}{\lambda}$

Подставим числовые значения, чтобы найти максимально возможное значение $k$:

$k \le \frac{2.5 \times 10^{-6} \text{ м}}{5 \times 10^{-7} \text{ м}} = \frac{25 \times 10^{-7} \text{ м}}{5 \times 10^{-7} \text{ м}} = 5$

Получили условие $k \le 5$. Поскольку порядок спектра $k$ должен быть целым числом, наибольшим целым значением, удовлетворяющим этому неравенству, является 5.

Ответ: наибольший порядок спектра, который можно наблюдать, равен 5.