Номер 6.2.12, страница 167, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

6.2.12. В качестве отражателя используют вогнутое сферическое зеркало диаметром 20 см с фокусным расстоянием 1 м. На каком расстоянии от зеркала нужно расположить точечный источник, чтобы лучи, отразившиеся от зеркала, образовали на стене пятно диаметром 4 см? Расстояние от зеркала до стены составляет 12 м. (Ответ: 1,11 м; 1,07 м.)

Дано:

Диаметр вогнутого зеркала $D_з = 20 \text{ см}$

Фокусное расстояние зеркала $F = 1 \text{ м}$

Диаметр светового пятна на стене $D_п = 4 \text{ см}$

Расстояние от зеркала до стены $L = 12 \text{ м}$

Перевод в систему СИ:

$D_з = 0.2 \text{ м}$

$D_п = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Расстояние от точечного источника до зеркала $d$

Решение:

Связь между расстоянием от источника до зеркала $d$, расстоянием от изображения до зеркала $f$ и фокусным расстоянием $F$ для вогнутого зеркала описывается формулой тонкой линзы (или сферического зеркала):

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Точечный источник, расположенный на главной оптической оси, создает точечное изображение. Световое пятно на стене образуется из-за того, что лучи, отраженные от краев зеркала, попадают на стену. Размер пятна зависит от взаимного расположения зеркала, изображения источника и стены.

Поскольку на стене образуется световое пятно, а не сфокусированное изображение, стена не находится в плоскости изображения. Для вогнутого зеркала возможны два случая, приводящие к такому результату, и оба требуют формирования действительного изображения (лучи после отражения должны пересечься). Это возможно, только если источник находится на расстоянии $d > F$. В этом случае изображение будет действительным ($f > 0$).

Рассмотрим два возможных случая расположения стены относительно действительного изображения $S'$.

Случай 1: Стена находится за действительным изображением ($L > f$)

В этом случае отраженные от зеркала лучи сходятся в точке действительного изображения $S'$, а затем расходятся, образуя на стене световое пятно. Ход лучей, отраженных от краев зеркала, можно рассмотреть с помощью подобных треугольников. Один треугольник образуется лучами, сходящимися в точке изображения $S'$ от краев зеркала, а второй — расходящимися лучами от $S'$ к краям пятна на стене. Вершина обоих треугольников находится в точке изображения $S'$.

Отношение диаметров пятна и зеркала равно отношению их расстояний до точки изображения $S'$:

$\frac{D_п}{D_з} = \frac{L - f}{f}$

Выразим отсюда $f$:

$D_п \cdot f = D_з \cdot (L - f) = D_з \cdot L - D_з \cdot f$

$f \cdot (D_п + D_з) = D_з \cdot L$

$f_1 = \frac{D_з \cdot L}{D_п + D_з}$

Подставим числовые значения:

$f_1 = \frac{0.2 \cdot 12}{0.04 + 0.2} = \frac{2.4}{0.24} = 10 \text{ м}$

Условие $L > f_1$ выполняется ($12 \text{ м} > 10 \text{ м}$). Теперь найдем расстояние $d_1$ из формулы зеркала:

$\frac{1}{d_1} = \frac{1}{F} - \frac{1}{f_1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$

$d_1 = \frac{10}{9} \approx 1.11 \text{ м}$

Случай 2: Стена находится перед действительным изображением ($L < f$)

В этом случае отраженные лучи еще не успели сойтись в фокусе, и стена пересекает сходящийся пучок света. Снова используем подобные треугольники с общей вершиной в точке действительного изображения $S'$.

Отношение диаметров пятна и зеркала равно отношению их расстояний до точки изображения $S'$:

$\frac{D_п}{D_з} = \frac{f - L}{f}$

Выразим отсюда $f$:

$D_п \cdot f = D_з \cdot (f - L) = D_з \cdot f - D_з \cdot L$

$D_з \cdot L = f \cdot (D_з - D_п)$

$f_2 = \frac{D_з \cdot L}{D_з - D_п}$

Подставим числовые значения:

$f_2 = \frac{0.2 \cdot 12}{0.2 - 0.04} = \frac{2.4}{0.16} = 15 \text{ м}$

Условие $L < f_2$ выполняется ($12 \text{ м} < 15 \text{ м}$). Теперь найдем расстояние $d_2$ из формулы зеркала:

$\frac{1}{d_2} = \frac{1}{F} - \frac{1}{f_2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{15} = \frac{14}{15}$

$d_2 = \frac{15}{14} \approx 1.07 \text{ м}$

Оба найденных значения ($d_1 > F$ и $d_2 > F$) удовлетворяют условию формирования действительного изображения, поэтому оба являются решениями задачи.

Ответ: источник нужно расположить на расстоянии 1,11 м или 1,07 м от зеркала.