Номер 6.2.5, страница 166, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

6.2.5. Плоское зеркало движется по направлению к источнику света со скоростью 5 см/с. С какой скоростью движется изображение источника, создаваемое зеркалом? Плоскость зеркала перпендикулярна вектору скорости. (Ответ: 10 см/с.)

Дано:

Скорость зеркала $v_з = 5$ см/с.

Источник света неподвижен ($v_{ист} = 0$).

Зеркало движется по направлению к источнику.

Перевод в систему СИ:

Скорость зеркала $v_з = 5 \text{ см/с} = 0.05 \text{ м/с}$.

Найти:

Скорость движения изображения $v_{из}$ — ?

Решение:

Рассмотрим данную ситуацию в одномерной системе координат. Пусть ось OX проходит через источник света и перпендикулярна плоскости зеркала. Поместим неподвижный источник света S в начало координат, тогда его координата $x_S = 0$ и скорость $v_S = 0$.

Изображение в плоском зеркале всегда симметрично предмету относительно плоскости зеркала. Это означает, что координата зеркала $x_з(t)$ в любой момент времени $t$ является средним арифметическим координаты предмета $x_S$ и координаты его изображения $x_{из}(t)$:

$x_з(t) = \frac{x_S + x_{из}(t)}{2}$

Поскольку мы приняли $x_S = 0$, выражение упрощается:

$x_з(t) = \frac{x_{из}(t)}{2}$

Отсюда можно выразить координату изображения через координату зеркала:

$x_{из}(t) = 2 \cdot x_з(t)$

Скорость объекта определяется как производная его координаты по времени. Чтобы найти скорость изображения $v_{из}$, необходимо продифференцировать по времени обе части последнего уравнения:

$v_{из} = \frac{dx_{из}(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(2 \cdot x_з(t))$

Используя правило дифференцирования, получаем:

$v_{из} = 2 \cdot \frac{dx_з(t)}{dt}$

Производная от координаты зеркала по времени $\frac{dx_з(t)}{dt}$ есть не что иное, как скорость зеркала $v_з$. Таким образом, мы получаем связь между скоростью изображения и скоростью зеркала:

$v_{из} = 2 \cdot v_з$

Это векторное равенство. Оно показывает, что вектор скорости изображения сонаправлен с вектором скорости зеркала, а его модуль в два раза больше.

В задаче требуется найти скорость движения, то есть модуль скорости. Модуль скорости зеркала по условию равен $v_з = 5$ см/с. Тогда модуль скорости изображения будет:

$|v_{из}| = |2 \cdot v_з| = 2 \cdot |v_з| = 2 \cdot 5 \text{ см/с} = 10 \text{ см/с}$

Ответ: 10 см/с.