Номер 6.2.8, страница 167, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

6.2.8. Радиус кривизны вогнутого зеркала равен 40 см. Найдите положение предмета, при котором его изображение будет действительным и увеличенным в 2 раза; мнимым и увеличенным в 2 раза. (Ответ: -60 см; 20 см.)

Дано:

Вогнутое зеркало

Радиус кривизны $R = 40$ см

Случай 1: изображение действительное, линейное увеличение по модулю $|\Gamma_1| = 2$

Случай 2: изображение мнимое, линейное увеличение по модулю $|\Gamma_2| = 2$

Перевод в СИ:

$R = 0,4$ м

Найти:

$d_1$ — положение предмета для случая 1.

$d_2$ — положение предмета для случая 2.

Решение:

Фокусное расстояние вогнутого зеркала связано с его радиусом кривизны соотношением $F = R/2$. Для вогнутого зеркала фокусное расстояние считается положительным.

$F = \frac{40 \text{ см}}{2} = 20 \text{ см}$

Для решения задачи воспользуемся формулой тонкой линзы (которая справедлива и для сферических зеркал), а также формулой для линейного увеличения:

Формула сферического зеркала: $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Формула линейного увеличения: $\Gamma = -\frac{f}{d}$

где $d$ — расстояние от предмета до зеркала, $f$ — расстояние от изображения до зеркала. Примем следующие правила знаков:

• $d > 0$ для действительного предмета.
• $f > 0$ для действительного изображения, $f < 0$ для мнимого изображения.
• $\Gamma < 0$ для перевёрнутого изображения (которое всегда является действительным для одного зеркала), $\Gamma > 0$ для прямого изображения (которое всегда является мнимым).

Рассмотрим оба случая.

изображение будет действительным и увеличенным в 2 раза

Действительное изображение, даваемое вогнутым зеркалом, является перевёрнутым. Следовательно, коэффициент увеличения $\Gamma_1 = -2$.

Из формулы увеличения выразим расстояние до изображения $f_1$:

$\Gamma_1 = -\frac{f_1}{d_1} \implies -2 = -\frac{f_1}{d_1} \implies f_1 = 2d_1$

Подставим это выражение в формулу зеркала:

$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{2d_1} = \frac{1}{F}$

Приведём к общему знаменателю левую часть:

$\frac{2+1}{2d_1} = \frac{1}{F} \implies \frac{3}{2d_1} = \frac{1}{F}$

Отсюда выразим $d_1$:

$d_1 = \frac{3F}{2} = \frac{3 \cdot 20 \text{ см}}{2} = 30 \text{ см}$

Для получения действительного увеличенного изображения предмет следует расположить между фокусом ($F=20$ см) и центром кривизны ($C=R=40$ см). Наш результат $d_1=30$ см удовлетворяет этому условию.

Ответ: предмет должен находиться на расстоянии 30 см от зеркала.

мнимым и увеличенным в 2 раза

Мнимое изображение, даваемое вогнутым зеркалом, является прямым. Следовательно, коэффициент увеличения $\Gamma_2 = +2$.

Из формулы увеличения выразим расстояние до изображения $f_2$:

$\Gamma_2 = -\frac{f_2}{d_2} \implies 2 = -\frac{f_2}{d_2} \implies f_2 = -2d_2$

Знак минус у $f_2$ подтверждает, что изображение мнимое.

Подставим это выражение в формулу зеркала:

$\frac{1}{d_2} + \frac{1}{-2d_2} = \frac{1}{F}$

Приведём к общему знаменателю левую часть:

$\frac{2-1}{2d_2} = \frac{1}{F} \implies \frac{1}{2d_2} = \frac{1}{F}$

Отсюда выразим $d_2$:

$d_2 = \frac{F}{2} = \frac{20 \text{ см}}{2} = 10 \text{ см}$

Для получения мнимого увеличенного изображения предмет следует расположить между фокусом ($F=20$ см) и полюсом зеркала. Наш результат $d_2=10$ см удовлетворяет этому условию.

Ответ: предмет должен находиться на расстоянии 10 см от зеркала.