Номер 6.2.6, страница 166, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

6.2.6. Два плоских зеркала располагаются под углом друг к другу, и между ними помещается точечный источник света. Расстояние от этого источника до одного зеркала составляет 3 см, до другого – 4 см. Расстояние между первыми изображениями равно 10 см. Найдите угол между зеркалами. (Ответ: 90°.)

Дано:

$d_1 = 3$ см

$d_2 = 4$ см

$L = 10$ см

$d_1 = 0.03$ м

$d_2 = 0.04$ м

$L = 0.1$ м

Найти:

$\alpha$

Решение:

Пусть $S$ — точечный источник света, $M_1$ и $M_2$ — два плоских зеркала, расположенных под углом $\alpha$ друг к другу. Расстояние от источника $S$ до зеркала $M_1$ равно $d_1$, а до зеркала $M_2$ — $d_2$.

Изображение точки в плоском зеркале является мнимым, симметричным источнику относительно плоскости зеркала.

Пусть $S_1$ — первое изображение источника $S$ в зеркале $M_1$. Оно находится на перпендикуляре, опущенном из $S$ на плоскость зеркала $M_1$, на таком же расстоянии от зеркала, как и источник. Следовательно, расстояние от источника $S$ до его изображения $S_1$ равно $SS_1 = 2d_1$.

Аналогично, пусть $S_2$ — первое изображение источника $S$ в зеркале $M_2$. Расстояние от источника $S$ до его изображения $S_2$ равно $SS_2 = 2d_2$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SS_1S_2$. Нам известны длины двух его сторон:

$SS_1 = 2d_1 = 2 \cdot 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$

$SS_2 = 2d_2 = 2 \cdot 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$

Третья сторона этого треугольника — это расстояние между изображениями $S_1$ и $S_2$, которое по условию равно $L = 10$ см.

Найдем угол $\angle S_1SS_2$ между сторонами $SS_1$ и $SS_2$. Отрезок $SS_1$ перпендикулярен первому зеркалу $M_1$, а отрезок $SS_2$ перпендикулярен второму зеркалу $M_2$. Угол между двумя прямыми равен углу между перпендикулярными им прямыми. Пусть $O$ — точка пересечения зеркал, $P_1$ — основание перпендикуляра из $S$ на $M_1$, а $P_2$ — основание перпендикуляра из $S$ на $M_2$. В четырехугольнике $OP_1SP_2$ углы $\angle OP_1S$ и $\angle OP_2S$ прямые, а угол $\angle P_1OP_2 = \alpha$. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, поэтому угол $\angle P_1SP_2 = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \alpha = 180^\circ - \alpha$. Так как точки $S_1, P_1, S$ и $S_2, P_2, S$ лежат на одних прямых, то $\angle S_1SS_2 = \angle P_1SP_2 = 180^\circ - \alpha$.

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $\triangle SS_1S_2$:

$L^2 = (SS_1)^2 + (SS_2)^2 - 2 \cdot SS_1 \cdot SS_2 \cdot \cos(\angle S_1SS_2)$

Подставим известные значения и выражения:

$L^2 = (2d_1)^2 + (2d_2)^2 - 2 \cdot (2d_1) \cdot (2d_2) \cdot \cos(180^\circ - \alpha)$

Используя тригонометрическое тождество $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получим:

$L^2 = 4d_1^2 + 4d_2^2 + 8d_1d_2\cos(\alpha)$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$10^2 = 4 \cdot 3^2 + 4 \cdot 4^2 + 8 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos(\alpha)$

$100 = 4 \cdot 9 + 4 \cdot 16 + 96 \cdot \cos(\alpha)$

$100 = 36 + 64 + 96 \cdot \cos(\alpha)$

$100 = 100 + 96 \cdot \cos(\alpha)$

$0 = 96 \cdot \cos(\alpha)$

$\cos(\alpha) = 0$

Поскольку $\alpha$ — это угол между зеркалами, он находится в диапазоне $0^\circ < \alpha < 180^\circ$. Единственное решение уравнения $\cos(\alpha) = 0$ в этом диапазоне — это $\alpha = 90^\circ$.

Проверка: если $\alpha = 90^\circ$, то $\angle S_1SS_2 = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Тогда треугольник $\triangle SS_1S_2$ является прямоугольным, и по теореме Пифагора $L^2 = (SS_1)^2 + (SS_2)^2$. $10^2 = 6^2 + 8^2 \implies 100 = 36 + 64 \implies 100 = 100$. Равенство верное.

Ответ: $90^\circ$.