Номер 6.2.7, страница 166, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

6.2.7. Определите фокусное расстояние вогнутого сферического зеркала, если оно дает действительное изображение предмета, увеличенное в 4 раза. Расстояние между предметом и его изображением составляет 15 см. (Ответ: -4 см.)

Дано

Тип зеркала: вогнутое сферическое

Тип изображения: действительное

Увеличение, $Г = 4$

Расстояние между предметом и изображением, $L = 15 \text{ см}$

$L = 0.15 \text{ м}$

Найти:

Фокусное расстояние, $F$ - ?

Решение

Формула сферического зеркала связывает расстояние от предмета до зеркала $d$, расстояние от изображения до зеркала $f$ и фокусное расстояние $F$: $${1 \over d} + {1 \over f} = {1 \over F}$$ Линейное увеличение зеркала $Г$ определяется как: $$Г = -{f \over d}$$ Поскольку по условию изображение действительное, для вогнутого зеркала оно будет перевернутым. В этом случае линейное увеличение принимается отрицательным: $Г = -4$.

Подставим значение увеличения в формулу: $$-4 = -{f \over d}$$ Отсюда выразим расстояние до изображения $f$ через расстояние до предмета $d$: $$f = 4d$$

Действительное изображение, создаваемое вогнутым зеркалом, находится с той же стороны от зеркала, что и предмет. Так как изображение увеличенное ($f > d$), расстояние между предметом и изображением $L$ равно разности их расстояний до зеркала: $$L = f - d$$ Подставим в это уравнение выражение для $f$ и данное значение $L$ в СИ: $$0.15 = 4d - d$$ $$0.15 = 3d$$ Теперь можем найти расстояние от предмета до зеркала: $$d = {0.15 \over 3} = 0.05 \text{ м}$$ Следовательно, расстояние от изображения до зеркала равно: $$f = 4d = 4 \cdot 0.05 = 0.20 \text{ м}$$

Теперь, зная $d$ и $f$, мы можем вычислить фокусное расстояние $F$ с помощью формулы зеркала: $${1 \over F} = {1 \over d} + {1 \over f} = {1 \over 0.05} + {1 \over 0.20}$$ Выполним сложение дробей: $${1 \over F} = {4 \over 0.20} + {1 \over 0.20} = {5 \over 0.20}$$ $${1 \over F} = 25 \text{ м}^{-1}$$ Отсюда фокусное расстояние равно: $$F = {1 \over 25} = 0.04 \text{ м}$$ Переводя в сантиметры, получаем $F = 4 \text{ см}$. Положительный знак фокусного расстояния соответствует вогнутому зеркалу, что согласуется с условием задачи.

Примечание: Ответ, указанный в скобках в условии задачи (-4 см), является некорректным, так как отрицательное фокусное расстояние соответствует выпуклому зеркалу, которое не может создавать действительные увеличенные изображения.

Ответ: $4 \text{ см}$.