Номер 6.2.4, страница 166, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

6.2.4. Человек ростом 1,5 м, стоящий на берегу озера, видит в небе по направлению, составляющему угол $60^\circ$ с горизонтом, Луну. На каком расстоянии от себя увидит человек отражение Луны в воде озера? (Ответ: 87 см.)

Дано:

Высота глаз человека над поверхностью воды, $h = 1,5$ м.

Угол, под которым видна Луна над горизонтом, $\alpha = 60^\circ$.

Найти:

Расстояние от человека до отражения Луны в воде, $L$.

Решение:

Поверхность воды в озере можно рассматривать как плоское зеркало. Луна находится на очень большом расстоянии от Земли, поэтому лучи света, идущие от нее, можно считать параллельными друг другу.

Человек видит отражение Луны в точке на поверхности воды, в которую луч света от Луны падает и, отразившись, попадает ему в глаза. Создадим геометрическую модель. Пусть E — точка, где находятся глаза наблюдателя, на высоте $h$ над поверхностью воды. Пусть P — точка на поверхности воды строго под наблюдателем (проекция точки E на поверхность). R — точка на поверхности воды, где происходит отражение луча. Таким образом, образуется прямоугольный треугольник EPR с прямым углом в точке P. Катет EP равен высоте глаз человека над водой, то есть $h = 1,5$ м.

Угол, который составляет направление на Луну с горизонтом, по условию равен $\alpha = 60^\circ$. Так как лучи от Луны параллельны, то луч, падающий в точку отражения R, также составляет угол $\alpha = 60^\circ$ с горизонтальной поверхностью воды.

Согласно закону отражения света, угол падения равен углу отражения. Если измерять углы не от нормали к поверхности, а от самой отражающей поверхности (так называемые углы скольжения), то угол скольжения падающего луча также будет равен углу скольжения отраженного луча. Следовательно, отраженный луч RE, идущий от точки отражения R к глазу E, составляет с поверхностью воды такой же угол $\alpha = 60^\circ$.

Таким образом, в прямоугольном треугольнике EPR нам известен катет $EP = h = 1,5$ м и противолежащий ему угол $\angle PRE = 60^\circ$.

Вопрос "на каком расстоянии от себя увидит человек отражение Луны" чаще всего подразумевает либо расстояние до точки отражения ($ER$), либо горизонтальное расстояние до этой точки ($PR$). Учитывая приведенный в задаче ответ, требуется найти именно горизонтальное расстояние от человека до точки отражения на воде, то есть длину катета $PR$. Обозначим это расстояние как $L$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике EPR получаем:

$\tan(\angle PRE) = \frac{EP}{PR}$

Выразим искомое расстояние $L = PR$:

$L = \frac{EP}{\tan(\angle PRE)} = \frac{h}{\tan(\alpha)}$

Подставим числовые значения:

$L = \frac{1,5 \text{ м}}{\tan(60^\circ)}$

Значение тангенса $60^\circ$ является табличной величиной: $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

$L = \frac{1,5}{\sqrt{3}} \text{ м} = \frac{3/2}{\sqrt{3}} \text{ м} = \frac{3}{2\sqrt{3}} \text{ м} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ м.

Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{3} \approx 1,732$:

$L \approx \frac{1,732}{2} \approx 0,866$ м.

Переведем результат в сантиметры для сравнения с ответом:

$L \approx 0,866 \text{ м} \times 100 \frac{\text{см}}{\text{м}} \approx 86,6$ см.

Округляя результат до целых, получаем 87 см.

Ответ: человек увидит отражение Луны в воде на расстоянии примерно 87 см от себя (по горизонтали).