Номер 6.5.5, страница 189, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

6.5.5. Большой кусок стекла с показателем преломления 1,5 имеет воздушную полость в виде двояковыпуклой линзы с радиусами кривизны 10 см. На главной оптической оси линзы внутри стекла на расстоянии 20 см от линзы находится песчинка. Найдите расстояние от линзы до изображения песчинки. (Ответ: -8,57 см.)

Дано:

Показатель преломления стекла $n_1 = 1,5$

Показатель преломления воздуха $n_2 = 1$

Радиусы кривизны воздушной линзы $R_1 = 10$ см, $R_2 = -10$ см

Расстояние от песчинки до линзы $d = 20$ см

Перевод в систему СИ:

$R_1 = 0,1$ м

$R_2 = -0,1$ м

$d = 0,2$ м

(Для удобства расчеты будут вестись в сантиметрах, так как все линейные размеры даны в см)

Найти:

Расстояние от линзы до изображения песчинки $f$

Решение:

В данной задаче воздушная полость в виде двояковыпуклой линзы находится внутри стекла. Свет от песчинки (объекта), находящейся в стекле, преломляется на границах стекло-воздух и воздух-стекло. Такая система ведет себя как линза, материал которой — воздух ($n_2=1$), а окружающая среда — стекло ($n_1=1,5$).

1. Найдем оптическую силу $D$ и фокусное расстояние $F$ этой воздушной линзы с помощью формулы для тонкой линзы (формулы шлифовщика линз):

$D = \frac{1}{F} = \left(\frac{n_{\text{линзы}}}{n_{\text{среды}}} - 1\right) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$

Здесь $n_{\text{линзы}} = n_2 = 1$, а $n_{\text{среды}} = n_1 = 1,5$.

Для двояковыпуклой линзы радиусы кривизны поверхностей имеют разные знаки. Примем, что свет идет слева направо. Первая поверхность будет выпуклой ($R_1 = 10$ см), а вторая — вогнутой с точки зрения выходящего луча, ее центр кривизны находится слева, поэтому $R_2 = -10$ см.

Подставим значения в формулу:

$\frac{1}{F} = \left(\frac{1}{1,5} - 1\right) \left(\frac{1}{10} - \frac{1}{-10}\right) = \left(\frac{2}{3} - 1\right) \left(\frac{1}{10} + \frac{1}{10}\right)$

$\frac{1}{F} = \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(\frac{2}{10}\right) = -\frac{2}{30} = -\frac{1}{15}$ см⁻¹

Таким образом, фокусное расстояние линзы $F = -15$ см.

Отрицательное значение фокусного расстояния означает, что двояковыпуклая воздушная полость в стекле действует как рассеивающая линза. Это происходит потому, что показатель преломления материала линзы (воздух) меньше показателя преломления окружающей среды (стекло).

2. Теперь воспользуемся формулой тонкой линзы, чтобы найти расстояние от линзы до изображения $f$:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

где $d = 20$ см — расстояние от объекта (песчинки) до линзы.

Подставим известные значения:

$\frac{1}{20} + \frac{1}{f} = \frac{1}{-15}$

Выразим $\frac{1}{f}$:

$\frac{1}{f} = -\frac{1}{15} - \frac{1}{20}$

Приведем дроби к общему знаменателю 60:

$\frac{1}{f} = -\frac{4}{60} - \frac{3}{60} = -\frac{7}{60}$

Отсюда находим расстояние до изображения $f$:

$f = -\frac{60}{7} \approx -8,5714...$ см

Округляя до сотых, получаем $f \approx -8,57$ см.

Знак «минус» означает, что изображение мнимое и расположено с той же стороны от линзы, что и предмет.

Ответ: -8,57 см.