Номер 6.5.4, страница 189, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

6.5.4. Стеклянная линза имеет в воздухе оптическую силу 5 дптр. Найдите фокусное расстояние той же линзы, погруженной в воду. Показатель преломления стекла 1,5, а воды 1,33. (Ответ: 0,8 м.)

Дано:

Оптическая сила линзы в воздухе, $D_{возд} = 5 \text{ дптр}$

Показатель преломления стекла, $n_{ст} = 1,5$

Показатель преломления воды, $n_{в} = 1,33$

Показатель преломления воздуха, $n_{возд} \approx 1$

Найти:

Фокусное расстояние линзы в воде, $F_{в}$

Решение:

Оптическая сила тонкой линзы определяется формулой линзмейкера (формулой шлифовщика линз):

$D = \frac{1}{F} = (\frac{n_{линзы}}{n_{среды}} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$

где $F$ – фокусное расстояние линзы, $n_{линзы}$ – показатель преломления материала линзы, $n_{среды}$ – показатель преломления окружающей среды, а $R_1$ и $R_2$ – радиусы кривизны поверхностей линзы.

Запишем эту формулу для линзы в воздухе, учитывая, что показатель преломления воздуха $n_{возд} \approx 1$:

$D_{возд} = (n_{ст} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ (1)

Теперь запишем ту же формулу для линзы, погруженной в воду:

$D_{в} = \frac{1}{F_{в}} = (\frac{n_{ст}}{n_{в}} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ (2)

Геометрический фактор $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ не изменяется, так как форма линзы остается прежней. Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{D_{в}}{D_{возд}} = \frac{(\frac{n_{ст}}{n_{в}} - 1)}{(n_{ст} - 1)}$

Отсюда выразим оптическую силу линзы в воде $D_{в}$:

$D_{в} = D_{возд} \cdot \frac{\frac{n_{ст} - n_{в}}{n_{в}}}{n_{ст} - 1} = D_{возд} \cdot \frac{n_{ст} - n_{в}}{n_{в}(n_{ст} - 1)}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$D_{в} = 5 \cdot \frac{1,5 - 1,33}{1,33 \cdot (1,5 - 1)} = 5 \cdot \frac{0,17}{1,33 \cdot 0,5} = 5 \cdot \frac{0,17}{0,665} = \frac{0,85}{0,665} \approx 1,278 \text{ дптр}$

Фокусное расстояние линзы в воде обратно пропорционально ее оптической силе:

$F_{в} = \frac{1}{D_{в}} \approx \frac{1}{1,278} \approx 0,782 \text{ м}$

Округлив до десятых, получаем 0,8 м.

Стоит отметить, что для получения точного ответа, указанного в задаче (0,8 м), следует использовать более точные значения показателей преломления в виде обыкновенных дробей: $n_{ст} = 1,5 = \frac{3}{2}$ и $n_{в} \approx 1,33 = \frac{4}{3}$.

В этом случае расчет будет выглядеть так:

$D_{в} = 5 \cdot \frac{\frac{3}{2} - \frac{4}{3}}{\frac{4}{3}(\frac{3}{2} - 1)} = 5 \cdot \frac{\frac{9-8}{6}}{\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}} = 5 \cdot \frac{\frac{1}{6}}{\frac{4}{6}} = 5 \cdot \frac{1}{4} = 1,25 \text{ дптр}$

Тогда фокусное расстояние в воде:

$F_{в} = \frac{1}{D_{в}} = \frac{1}{1,25} = 0,8 \text{ м}$

Ответ: фокусное расстояние линзы в воде равно 0,8 м.