Номер 6.5.6, страница 189, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

6.5.6. Параллельный пучок света падает перпендикулярно на собирающую линзу, оптическая сила которой $D_1 = 2,5$ дптр. На расстоянии 20 см от нее находится рассеивающая линза с оптической силой $D_2 = -5$ дптр. Диаметр линз равен 5 см. На расстоянии 30 см от рассеивающей линзы расположен экран Э. Каков диаметр светлого пятна, создаваемого линзами, на экране? (Ответ: 2,5 см.)

Дано:

Оптическая сила собирающей линзы $D_1 = 2,5$ дптр

Оптическая сила рассеивающей линзы $D_2 = -5$ дптр

Расстояние между линзами $L = 20$ см

Диаметр линз $d_{линз} = 5$ см

Расстояние от рассеивающей линзы до экрана $f_{э} = 30$ см

Перевод в систему СИ:

$L = 0,2$ м

$d_{линз} = 0,05$ м

$f_{э} = 0,3$ м

Найти:

Диаметр светлого пятна на экране $d_{пятна}$

Решение:

1. Сначала найдем фокусное расстояние первой (собирающей) линзы. Параллельный пучок света, падающий на собирающую линзу, должен сойтись в ее заднем фокусе.

Фокусное расстояние $F_1$ связано с оптической силой $D_1$ соотношением:

$F_1 = \frac{1}{D_1} = \frac{1}{2,5 \text{ дптр}} = 0,4 \text{ м} = 40 \text{ см}.$

Это значит, что лучи после прохождения первой линзы направляются в точку, расположенную на расстоянии 40 см от нее.

2. Вторая (рассеивающая) линза находится на расстоянии $L = 20$ см от первой. Так как $L < F_1$ ($20 \text{ см} < 40 \text{ см}$), на вторую линзу падает сходящийся пучок света. Точка, в которой лучи сошлись бы без второй линзы, является мнимым предметом для этой второй линзы. Найдем расстояние от мнимого предмета до второй линзы ($d_2$). Оно равно разности фокусного расстояния первой линзы и расстояния между линзами. По правилу знаков для мнимого предмета (который находится за линзой) расстояние берется со знаком минус.

$d_2 = -(F_1 - L) = -(40 \text{ см} - 20 \text{ см}) = -20 \text{ см} = -0,2 \text{ м}.$

3. Найдем фокусное расстояние второй (рассеивающей) линзы:

$F_2 = \frac{1}{D_2} = \frac{1}{-5 \text{ дптр}} = -0,2 \text{ м} = -20 \text{ см}.$

4. Используем формулу тонкой линзы для второй линзы, чтобы определить, как пойдут лучи после нее. Пусть $f_2$ — расстояние от второй линзы до изображения:

$\frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F_2}$

Подставим известные значения:

$\frac{1}{f_2} = \frac{1}{F_2} - \frac{1}{d_2} = \frac{1}{-20 \text{ см}} - \frac{1}{-20 \text{ см}} = -\frac{1}{20} + \frac{1}{20} = 0.$

Из того, что $\frac{1}{f_2} = 0$, следует, что $f_2 = \infty$. Это означает, что лучи света после прохождения через вторую линзу становятся параллельными главной оптической оси.

5. Поскольку из системы линз выходит параллельный пучок света, диаметр этого пучка не изменяется с расстоянием. Таким образом, диаметр светлого пятна на экране будет равен диаметру светового пучка в момент его выхода из второй линзы. Найдем этот диаметр.

Рассмотрим крайний луч света, который падает на первую линзу. Его высота над оптической осью равна радиусу линзы: $r_{линз} = d_{линз} / 2 = 5 \text{ см} / 2 = 2,5 \text{ см}$.

После преломления в первой линзе этот луч направляется к точке фокуса $F_1$. Чтобы найти высоту $h_2$, на которой этот луч пересекает плоскость второй линзы, воспользуемся подобием треугольников. Рассмотрим два подобных прямоугольных треугольника: один большой, с катетами $r_{линз}$ и $F_1$, и второй малый, с катетами $h_2$ и $(F_1 - L)$.

Из подобия треугольников следует соотношение:

$\frac{h_2}{r_{линз}} = \frac{F_1 - L}{F_1}$

$h_2 = r_{линз} \cdot \frac{F_1 - L}{F_1} = 2,5 \text{ см} \cdot \frac{40 \text{ см} - 20 \text{ см}}{40 \text{ см}} = 2,5 \text{ см} \cdot \frac{20}{40} = 2,5 \text{ см} \cdot 0,5 = 1,25 \text{ см}.$

Это радиус светового пучка, падающего на вторую линзу (и выходящего из нее). Диаметр этого пучка равен:

$d_{пучка} = 2 \cdot h_2 = 2 \cdot 1,25 \text{ см} = 2,5 \text{ см}.$

Так как пучок параллелен, диаметр светлого пятна на экране, расположенном на любом расстоянии, будет таким же.

$d_{пятна} = d_{пучка} = 2,5 \text{ см}.$

Ответ: диаметр светлого пятна на экране равен 2,5 см.