Номер 6.5.3, страница 189, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

6.5.3. Рассеивающая линза дает изображение предмета, помещенного на расстоянии $\text{d}$ перед ней, с увеличением $\Gamma_1$. Собирающая линза с таким же фокусным расстоянием дает изображение того же предмета, находящегося на том же расстоянии $\text{d}$, с увеличением $\Gamma_2 = 2\Gamma_1$. Фокусные расстояния линз равны $\text{2}$ см. Найдите $\text{d}$. (Ответ: $\text{6}$ см.)

Дано:

Фокусное расстояние рассеивающей линзы $F_1 = -F$

Фокусное расстояние собирающей линзы $F_2 = F$

Модуль фокусного расстояния $F = 2 \text{ см}$

Расстояние от предмета до линзы $d$

Увеличение, даваемое рассеивающей линзой, $Γ_1$

Увеличение, даваемое собирающей линзой, $Γ_2$

Соотношение увеличений $Γ_2 = 2Γ_1$

$F = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

$d$

Решение:

Формула тонкой линзы имеет вид:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F_{линзы}}$

где $d$ — расстояние от предмета до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения, $F_{линзы}$ — фокусное расстояние линзы. Для рассеивающей линзы $F_{линзы}$ отрицательно, для собирающей — положительно.

Линейное увеличение линзы $Γ$ определяется как отношение модуля расстояния до изображения к модулю расстояния до предмета:

$Γ = \left| \frac{f}{d} \right|$

Из формулы тонкой линзы выразим расстояние до изображения $f$:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F_{линзы}} - \frac{1}{d} = \frac{d - F_{линзы}}{d \cdot F_{линзы}}$

$f = \frac{d \cdot F_{линзы}}{d - F_{линзы}}$

Тогда формула для увеличения примет вид:

$Γ = \left| \frac{d \cdot F_{линзы}}{d(d - F_{линзы})} \right| = \left| \frac{F_{линзы}}{d - F_{линзы}} \right|$

1. Для рассеивающей линзы $F_{линзы} = F_1 = -F$. Ее увеличение равно:

$Γ_1 = \left| \frac{-F}{d - (-F)} \right| = \left| \frac{-F}{d + F} \right|$

Поскольку $d > 0$ и $F > 0$, выражение в знаменателе положительно, поэтому:

$Γ_1 = \frac{F}{d + F}$

2. Для собирающей линзы $F_{линзы} = F_2 = F$. Ее увеличение равно:

$Γ_2 = \left| \frac{F}{d - F} \right|$

3. Используем заданное в условии соотношение $Γ_2 = 2Γ_1$:

$\left| \frac{F}{d - F} \right| = 2 \cdot \frac{F}{d + F}$

Так как $F \ne 0$, можно сократить на $F$:

$\frac{1}{|d - F|} = \frac{2}{d + F}$

$d + F = 2|d - F|$

Рассмотрим два возможных случая:

а) $d > F$. В этом случае $|d - F| = d - F$. Уравнение принимает вид:

$d + F = 2(d - F)$

$d + F = 2d - 2F$

$3F = d$

Подставляем значение $F = 2 \text{ см}$:

$d = 3 \cdot 2 \text{ см} = 6 \text{ см}$

б) $d < F$. В этом случае $|d - F| = -(d - F) = F - d$. Уравнение принимает вид:

$d + F = 2(F - d)$

$d + F = 2F - 2d$

$3d = F$

$d = \frac{F}{3} = \frac{2}{3} \text{ см}$

Оба решения являются физически возможными. Однако, в условии задачи в скобках приведен ожидаемый ответ, который совпадает с одним из наших решений.

Ответ: $d = 6 \text{ см}$.