Номер 6.5.7, страница 190, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

6.5.7. Собирающая линза с радиусами кривизны $12,5 \text{ см}$ и $26 \text{ см}$ дает в воздухе действительное изображение предмета, расположенное на расстоянии $24 \text{ см}$ от линзы, когда предмет находится на расстоянии $50 \text{ см}$ от линзы. Та же линза, погруженная в жидкость, действует как рассеивающая с фокусным расстоянием $1 \text{ м}$. Найдите показатель преломления жидкости. (Ответ: $1,66$.)

Дано:

$R_1 = 12,5 \text{ см}$

$R_2 = 26 \text{ см}$

$d_{воздух} = 50 \text{ см}$

$f_{воздух} = 24 \text{ см}$ (действительное изображение)

$F_{жидкость} = 1 \text{ м}$ (линза становится рассеивающей)

$n_{воздух} \approx 1$

$R_1 = 0,125 \text{ м}$

$R_2 = 0,26 \text{ м}$

$d_{воздух} = 0,5 \text{ м}$

$f_{воздух} = 0,24 \text{ м}$

$F_{жидкость} = -1 \text{ м}$ (знак минус, так как линза стала рассеивающей)

Найти:

$n_{жидкость}$ - показатель преломления жидкости.

Решение:

Задача решается в два этапа. Сначала, используя данные для линзы в воздухе, мы найдем показатель преломления материала линзы ($n_{линзы}$). Затем, используя полученное значение и данные для линзы в жидкости, мы найдем показатель преломления жидкости ($n_{жидкость}$).

Этап 1: Определение показателя преломления линзы.

1. Найдем фокусное расстояние линзы в воздухе ($F_{воздух}$) с помощью формулы тонкой линзы: $ \frac{1}{F_{воздух}} = \frac{1}{d_{воздух}} + \frac{1}{f_{воздух}} $. Поскольку изображение действительное, расстояние до него $f_{воздух}$ берется со знаком плюс. $ \frac{1}{F_{воздух}} = \frac{1}{0,5 \text{ м}} + \frac{1}{0,24 \text{ м}} = 2 + \frac{100}{24} = 2 + \frac{25}{6} = \frac{12+25}{6} = \frac{37}{6} \text{ м}^{-1} $. Оптическая сила линзы в воздухе $D_{воздух} = \frac{37}{6} \text{ дптр}$.

2. Используем формулу для оптической силы тонкой линзы (формулу шлифовщиков линз): $D = \frac{1}{F} = (\frac{n_{линзы}}{n_{среды}} - 1) (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2})$. Для двояковыпуклой линзы радиусы кривизны поверхностей имеют разные знаки. Примем, что свет падает слева, тогда для первой поверхности $R_1 > 0$, а для второй $R_2 < 0$. В условии даны их модули. Поэтому формула примет вид: $D = (\frac{n_{линзы}}{n_{среды}} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.

В воздухе $n_{среды} = n_{воздух} \approx 1$. $ D_{воздух} = (n_{линзы} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) $. Подставим известные значения: $ \frac{37}{6} = (n_{линзы} - 1) (\frac{1}{0,125} - \frac{1}{-0,26}) = (n_{линзы} - 1) (8 + \frac{1}{0,26}) $. $ \frac{1}{0,26} = \frac{100}{26} = \frac{50}{13} $. $ \frac{37}{6} = (n_{линзы} - 1) (8 + \frac{50}{13}) = (n_{линзы} - 1) (\frac{104 + 50}{13}) = (n_{линзы} - 1) \frac{154}{13} $.

Выразим $n_{линзы} - 1$: $ n_{линзы} - 1 = \frac{37}{6} \cdot \frac{13}{154} = \frac{481}{924} $. $ n_{линзы} = 1 + \frac{481}{924} = \frac{924 + 481}{924} = \frac{1405}{924} \approx 1,52 $.

Этап 2: Определение показателя преломления жидкости.

Теперь рассмотрим линзу, погруженную в жидкость. Оптическая сила линзы в жидкости $D_{жидкость} = \frac{1}{F_{жидкость}} = \frac{1}{-1 \text{ м}} = -1 \text{ дптр}$. Используем ту же формулу шлифовщиков линз, но теперь $n_{среды} = n_{жидкость}$: $ D_{жидкость} = (\frac{n_{линзы}}{n_{жидкость}} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) $.

Геометрический множитель $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ остался тем же и равен $\frac{154}{13} \text{ м}^{-1}$. Подставляем известные значения: $ -1 = (\frac{n_{линзы}}{n_{жидкость}} - 1) \cdot \frac{154}{13} $.

Выразим скобку: $ \frac{n_{линзы}}{n_{жидкость}} - 1 = -1 \cdot \frac{13}{154} = -\frac{13}{154} $. $ \frac{n_{линзы}}{n_{жидкость}} = 1 - \frac{13}{154} = \frac{154 - 13}{154} = \frac{141}{154} $.

Отсюда находим $n_{жидкость}$: $ n_{жидкость} = n_{линзы} \cdot \frac{154}{141} $. Подставляем найденное ранее значение $n_{линзы} = \frac{1405}{924}$: $ n_{жидкость} = \frac{1405}{924} \cdot \frac{154}{141} $. Заметим, что $924 = 6 \cdot 154$. $ n_{жидкость} = \frac{1405}{6 \cdot 154} \cdot \frac{154}{141} = \frac{1405}{6 \cdot 141} = \frac{1405}{846} \approx 1,6607... $.

Округляя до сотых, получаем $n_{жидкость} \approx 1,66$.

Ответ: 1,66.