Номер 6, страница 58, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

*6. Напряжение на концах участка цепи изменяется по закону $u = U_m \sin(\omega t + \pi/6)$. В момент $t = \frac{T}{12}$ напряжение $u = 10 \text{ В}$. Определите эффективное значение напряжения.

Ответ: 8,2 В.

Дано:

Закон изменения напряжения: $u = U_m \sin(\omega t + \pi/6)$

В момент времени $t = \frac{T}{12}$

Мгновенное напряжение $u = 10$ В

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Эффективное значение напряжения $U_{эфф}$

Решение:

Мгновенное напряжение $\text{u}$ в цепи изменяется по заданному закону $u = U_m \sin(\omega t + \pi/6)$, где $U_m$ — амплитудное значение напряжения, $\omega$ — циклическая частота, $\text{t}$ — время, а $\pi/6$ — начальная фаза.

Нам известно, что в момент времени $t = T/12$ (где $\text{T}$ — период колебаний) мгновенное напряжение $\text{u}$ равно $10$ В. Подставим эти значения в уравнение:

$10 = U_m \sin(\omega \cdot \frac{T}{12} + \frac{\pi}{6})$

Циклическая частота $\omega$ и период $\text{T}$ связаны соотношением $\omega = 2\pi/T$. Используем это для нахождения фазы колебаний $\omega t$ в указанный момент времени:

$\omega t = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{12} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$

Теперь подставим это значение в наше уравнение для напряжения:

$10 = U_m \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) = U_m \sin(\frac{2\pi}{6}) = U_m \sin(\frac{\pi}{3})$

Значение синуса угла $\pi/3$ радиан (или 60°) является табличной величиной:

$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим это значение в уравнение и найдем амплитудное напряжение $U_m$:

$10 = U_m \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$U_m = \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}}$ В

Эффективное (или действующее) значение напряжения $U_{эфф}$ для синусоидального сигнала определяется через амплитудное значение по формуле:

$U_{эфф} = \frac{U_m}{\sqrt{2}}$

Подставим найденное нами значение $U_m$:

$U_{эфф} = \frac{20/\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{6}}$

Вычислим численное значение, используя $\sqrt{6} \approx 2,4495$:

$U_{эфф} \approx \frac{20}{2,4495} \approx 8,1649$ В

Округлив результат до одного знака после запятой, получаем искомое значение.

Ответ: $U_{эфф} \approx 8,2$ В.