Номер 5, страница 113, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

5. Плоская волна длиной 6 м распространяется в среде со скоростью 25 м/с. Амплитуда колебаний 50 см. Определите: максимальную скорость колебаний частиц среды, перемещение и путь частиц среды за период. Запишите уравнение волны. В начальный момент смещение частиц в волне равно половине амплитуды.

Ответ: $v_m = 13 \text{ м/с}$; $0 \text{ м}$; $l = 4x_m = 2 \text{ м}$; $x = 0,5\sin(8,3\pi t + \frac{\pi}{6})$

Дано:

Длина волны, $\lambda = 6$ м

Скорость распространения волны, $v = 25$ м/с

Амплитуда колебаний, $A = 50$ см

Начальное смещение, $y(0, 0) = A/2$

Перевод в систему СИ:

Амплитуда колебаний, $A = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$

Найти:

$v_{max}$ - максимальную скорость колебаний частиц среды

$\Delta y_T$ - перемещение частиц за период

$S_T$ - путь, пройденный частицами за период

$y(x, t)$ - уравнение волны

Решение:

Сначала определим основные параметры волны: период, частоту и угловую (циклическую) частоту.

Период колебаний $\text{T}$ - это время, за которое волна проходит расстояние, равное длине волны $\lambda$.

$T = \frac{\lambda}{v} = \frac{6 \text{ м}}{25 \text{ м/с}} = 0.24 \text{ с}$

Угловая частота $\omega$ связана с периодом соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.24 \text{ с}} = \frac{2\pi}{6/25} = \frac{50\pi}{6} = \frac{25\pi}{3} \text{ рад/с} \approx 26.18 \text{ рад/с}$

1. Максимальная скорость колебаний частиц среды

Смещение частицы в волне описывается гармоническим законом. Скорость частицы является первой производной смещения по времени. Если смещение $y(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$, то скорость $u(t) = y'(t) = A\omega \cos(\omega t + \phi_0)$. Максимальное значение скорости (амплитуда скорости) достигается, когда косинус равен $\pm1$.

$v_{max} = A \cdot \omega = 0.5 \text{ м} \cdot \frac{25\pi}{3} \text{ рад/с} = \frac{12.5\pi}{3} \text{ м/с} \approx 13.09 \text{ м/с}$

Округляя до целых, получаем $13$ м/с.

Ответ: $v_{max} \approx 13 \text{ м/с}$.

2. Перемещение частиц среды за период

За один период $\text{T}$ каждая частица среды совершает одно полное колебание и возвращается в исходную точку с той же скоростью и направлением движения. Таким образом, ее конечное положение совпадает с начальным.

Перемещение – это вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Так как они совпадают, перемещение равно нулю.

$\Delta y_T = y(t_0 + T) - y(t_0) = 0$

Ответ: $\Delta y_T = 0 \text{ м}$.

3. Путь частиц среды за период

Путь – это длина траектории. За один период частица, колеблясь около положения равновесия, проходит путь, равный четырем амплитудам. Например, от положения равновесия до $+A$ (путь $\text{A}$), затем до $-A$ (путь $2A$), и обратно в положение равновесия (путь $\text{A}$). Суммарный путь: $A + 2A + A = 4A$.

$S_T = 4A = 4 \cdot 0.5 \text{ м} = 2 \text{ м}$

Ответ: $S_T = 2 \text{ м}$.

4. Уравнение волны

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси $\text{x}$, имеет вид:

$y(x, t) = A \sin(\omega t - kx + \phi_0)$

где $\text{A}$ - амплитуда, $\omega$ - угловая частота, $\text{k}$ - волновое число, $\phi_0$ - начальная фаза.

Амплитуда $A=0.5$ м и угловая частота $\omega = \frac{25\pi}{3}$ рад/с уже найдены.

Найдем волновое число $\text{k}$:

$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{6 \text{ м}} = \frac{\pi}{3} \text{ рад/м}$

Теперь найдем начальную фазу $\phi_0$ из условия, что в начальный момент времени ($t=0$) в точке $x=0$ смещение равно половине амплитуды: $y(0, 0) = A/2$.

$y(0, 0) = A \sin(\omega \cdot 0 - k \cdot 0 + \phi_0) = A \sin(\phi_0)$

$A \sin(\phi_0) = A/2 \implies \sin(\phi_0) = 1/2$

Простейшее значение фазы, удовлетворяющее этому условию, это $\phi_0 = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем все найденные значения в уравнение волны:

$y(x, t) = 0.5 \sin\left(\frac{25\pi}{3}t - \frac{\pi}{3}x + \frac{\pi}{6}\right)$

Иногда под "уравнением волны" подразумевают уравнение колебаний частиц в начале координат ($x=0$). В этом случае уравнение упрощается:

$y(0, t) = 0.5 \sin\left(\frac{25\pi}{3}t + \frac{\pi}{6}\right)$

Если представить коэффициент при $\text{t}$ в виде десятичной дроби ($25/3 \approx 8.33$), то уравнение примет вид, близкий к приведенному в ответе на изображении (с учетом округления и использования переменной $\text{x}$ для смещения):

$y(0, t) \approx 0.5 \sin\left(8.33\pi t + \frac{\pi}{6}\right)$

Ответ: Полное уравнение волны: $y(x, t) = 0.5 \sin\left(\frac{25\pi}{3}t - \frac{\pi}{3}x + \frac{\pi}{6}\right)$. Уравнение колебаний частиц в источнике ($x=0$): $y(t) = 0.5 \sin\left(\frac{25\pi}{3}t + \frac{\pi}{6}\right)$.