Номер 4, страница 113, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

4. Уравнение колебаний вибратора $x = 3,0 \sin(20 \pi t)$ (см). Считая волну плоской, определите смещение точки, расположенной в 5 м от источника колебаний, через 0,1 с после начала колебаний при скорости распространения волны 200 м/с.

Ответ: -3 см.

Дано:

Уравнение колебаний источника: $x(t) = 3,0 \sin(20\pi t)$ (см)

Расстояние от источника: $l = 5$ м

Время наблюдения: $t_{общ} = 0,1$ с

Скорость распространения волны: $v = 200$ м/с

Амплитуда колебаний из уравнения $A = 3,0$ см.

Перевод в систему СИ:

$A = 3,0 \text{ см} = 0,03 \text{ м}$

Найти:

Смещение точки $\text{y}$ в момент времени $t_{общ}$.

Решение:

Уравнение колебаний источника (в точке $l=0$) имеет вид $x(t) = A \sin(\omega t)$. Сравнивая с данным уравнением $x(t) = 3,0 \sin(20\pi t)$, находим:

Амплитуда $A = 3,0$ см.

Циклическая частота $\omega = 20\pi$ рад/с.

Уравнение плоской волны, распространяющейся от источника в положительном направлении оси, имеет вид:

$y(l, t) = A \sin(\omega(t - \tau))$

где $\tau$ - время, за которое волна проходит расстояние $\text{l}$.

Найдем это время задержки:

$\tau = \frac{l}{v}$

Подставим числовые значения:

$\tau = \frac{5 \text{ м}}{200 \text{ м/с}} = 0,025$ с.

Это означает, что колебания в точке, удаленной на 5 м от источника, начнутся с задержкой в 0,025 с по сравнению с источником. Поэтому в момент времени $t_{общ} = 0,1$ с точка будет совершать колебания в течение времени $t' = t_{общ} - \tau$.

$t' = 0,1 \text{ с} - 0,025 \text{ с} = 0,075$ с.

Теперь можем найти смещение точки в заданный момент времени, подставив время $t'$ в уравнение колебаний:

$y = A \sin(\omega t')$

Расчет будем вести в сантиметрах, так как амплитуда дана в сантиметрах.

$y = 3,0 \cdot \sin(20\pi \cdot 0,075)$

$y = 3,0 \cdot \sin(1,5\pi)$

Так как $\sin(1,5\pi) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$, то:

$y = 3,0 \cdot (-1) = -3,0$ см.

Ответ: -3 см.