Номер 6, страница 171, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

*6. Какую минимальную толщину должна иметь пластинка, сделанная из материала с показателем преломления 1,54, чтобы при ее освещении лучами с длиной волны 750 нм, перпендикулярными поверхности пластинки, она в отраженном свете казалась: а) красной; б) черной?

Ответ: а) 120 нм; б) 240 нм.

Дано:

Показатель преломления пластинки $n = 1,54$

Длина волны падающего света $\lambda = 750$ нм

Падение лучей перпендикулярное.

Перевод в систему СИ:

$\lambda = 750 \times 10^{-9}$ м

Найти:

$d_{min}$ - минимальная толщина пластинки для случаев а) и б).

Решение:

Цвет тонкой пластинки в отраженном свете определяется результатом интерференции световых волн, отраженных от ее передней и задней поверхностей. Когда свет падает перпендикулярно на пластинку, луч отражается от верхней границы (воздух-пластинка) и от нижней границы (пластинка-воздух).

При отражении от верхней границы, где свет переходит из оптически менее плотной среды (воздух, $n_{воздуха} \approx 1$) в более плотную (пластинка, $n=1,54$), происходит потеря полуволны, то есть фаза волны изменяется на $\pi$. Это эквивалентно дополнительной оптической разности хода в $\lambda/2$.

При отражении от нижней границы (пластинка-воздух) свет переходит из оптически более плотной среды в менее плотную, поэтому изменения фазы не происходит.

Луч, отраженный от нижней поверхности, проходит внутри пластинки дополнительное расстояние, равное $2d$, где $\text{d}$ – толщина пластинки. Оптическая длина этого пути равна $2nd$.

Следовательно, общая оптическая разность хода $\Delta$ между двумя отраженными лучами равна:

$\Delta = 2nd + \frac{\lambda}{2}$

а) красной

Чтобы пластинка в отраженном свете казалась красной (цвет падающих лучей), необходимо выполнение условия конструктивной интерференции (усиления света). Условие максимума интерференции имеет вид:

$\Delta = k\lambda$, где $k = 1, 2, 3, ...$

Приравнивая выражения для $\Delta$, получаем:

$2nd + \frac{\lambda}{2} = k\lambda$

$2nd = (k - \frac{1}{2})\lambda$

Для нахождения минимальной толщины $d_{min}$ необходимо взять наименьшее возможное целое значение $\text{k}$, при котором толщина будет положительной, то есть $k=1$.

$d_{min} = \frac{(1 - \frac{1}{2})\lambda}{2n} = \frac{\lambda}{4n}$

Выполним вычисления:

$d_{min} = \frac{750 \text{ нм}}{4 \cdot 1,54} = \frac{750}{6,16} \text{ нм} \approx 121,75 \text{ нм}$

Ответ: $d_{min} \approx 122$ нм.

б) черной

Чтобы пластинка казалась черной, необходимо выполнение условия деструктивной интерференции (ослабления света). Условие минимума интерференции имеет вид:

$\Delta = (2k+1)\frac{\lambda}{2}$, где $k = 0, 1, 2, ...$

Приравнивая выражения для $\Delta$, получаем:

$2nd + \frac{\lambda}{2} = (2k+1)\frac{\lambda}{2}$

$2nd = (2k+1)\frac{\lambda}{2} - \frac{\lambda}{2} = 2k\frac{\lambda}{2} = k\lambda$

Для нахождения минимальной ненулевой толщины $d_{min}$ необходимо взять наименьшее ненулевое целое значение $\text{k}$, то есть $k=1$.

$d_{min} = \frac{1 \cdot \lambda}{2n} = \frac{\lambda}{2n}$

Выполним вычисления:

$d_{min} = \frac{750 \text{ нм}}{2 \cdot 1,54} = \frac{750}{3,08} \text{ нм} \approx 243,5 \text{ нм}$

Ответ: $d_{min} \approx 244$ нм.