Номер 5, страница 104, часть 2 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

5. Определите, сколько атомов распадается в $m = 1$ мг радиоактивного изотопа цезия $^{137}\text{Cs}$ в течение промежутка времени $t = 20$ дней. Период полураспада цезия $T_{1/2} = 30$ дней.

Ответ: $N = 1,6 \cdot 10^{18}$.

Дано:

Масса радиоактивного изотопа цезия-137 ($^{137}Cs$) $m = 1 \text{ мг}$

Промежуток времени $t = 20 \text{ дней}$

Период полураспада $T_{1/2} = 30 \text{ дней}$

Справочные данные:

Молярная масса $^{137}Cs$: $M \approx 137 \text{ г/моль}$

Постоянная Авогадро: $N_A \approx 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Перевод в СИ:

$m = 1 \text{ мг} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ г} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ кг}$

$M \approx 137 \text{ г/моль} = 0,137 \text{ кг/моль}$

Найти:

$ΔN$ - количество распавшихся атомов.

Решение:

1. Сначала определим начальное количество атомов $N_0$ в образце радиоактивного цезия массой $\text{m}$. Это можно сделать, используя молярную массу $\text{M}$ и число Авогадро $N_A$.

Формула для расчета начального числа атомов:

$N_0 = \frac{m}{M} \cdot N_A$

Подставим значения в формулу. Для удобства расчетов будем использовать массу в граммах ($1 \text{ мг} = 10^{-3} \text{ г}$) и молярную массу в г/моль.

$N_0 = \frac{1 \cdot 10^{-3} \text{ г}}{137 \text{ г/моль}} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 4,396 \cdot 10^{18} \text{ атомов}$

2. Далее используем закон радиоактивного распада, чтобы найти количество атомов, которое останется через промежуток времени $\text{t}$.

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

3. Количество атомов, которые распались за время $\text{t}$, равно разности между начальным количеством атомов и оставшимся количеством атомов:

$ΔN = N_0 - N(t)$

Подставив выражение для $N(t)$, получаем:

$ΔN = N_0 - N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}} = N_0 \left(1 - 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}\right)$

Теперь подставим числовые значения. Отношение $\frac{t}{T_{1/2}}$ является безразмерной величиной, поэтому нет необходимости переводить время и период полураспада в систему СИ (секунды), так как они даны в одинаковых единицах (днях).

$\frac{t}{T_{1/2}} = \frac{20 \text{ дней}}{30 \text{ дней}} = \frac{2}{3}$

Подставляем это значение и ранее вычисленное $N_0$ в формулу для $ΔN$:

$ΔN = 4,396 \cdot 10^{18} \cdot \left(1 - 2^{-\frac{2}{3}}\right)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$2^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{2^{2/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \approx \frac{1}{1,5874} \approx 0,62996$

$1 - 0,62996 = 0,37004$

Теперь можем найти итоговое количество распавшихся атомов:

$ΔN \approx 4,396 \cdot 10^{18} \cdot 0,37004 \approx 1,6267 \cdot 10^{18} \text{ атомов}$

Округляя результат до двух значащих цифр, как предложено в ответе к задаче, получаем:

$ΔN \approx 1,6 \cdot 10^{18} \text{ атомов}$

Ответ: количество распавшихся атомов составляет примерно $1,6 \cdot 10^{18}$.