Номер 9, страница 104, часть 2 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

*9. Возраст археологических находок определяют с помощью встречающегося в них радиоактивного углерода $^{14}\text{C}$, полупериод распада которого 5730 лет. В атмосферном углероде радиоактивность в 1 г равна $A = 0,255 \text{ Бк}$. Найдите возраст находки, если в 100 г углерода в составе находки наблюдают 35 распадов в час.

Ответ: $t = T \cdot \ln\left(\frac{\tau m_2 \cdot A}{m_1 \cdot N}\right) / \ln2 = 65 000 \text{ лет.}$

Дано:

Период полураспада углерода-14 ($^{14}C$), $T = 5730$ лет

Радиоактивность в 1 г атмосферного углерода (начальная удельная активность), $a_0 = 0,255$ Бк

Масса углерода в находке, $m = 100$ г

Число распадов в образце, $N_{расп} = 35$

Время наблюдения, $\Delta t = 1$ час

$\Delta t = 1 \text{ час} = 3600 \text{ с}$

Найти:

Возраст находки, $\text{t}$

Решение:

Возраст археологических находок определяется с помощью закона радиоактивного распада. Активность радиоактивного образца $\text{A}$ уменьшается со временем $\text{t}$ по экспоненциальному закону:

$A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda t}$

где $A_0$ — начальная активность образца (в момент, когда организм перестал обмениваться углеродом с окружающей средой), $A(t)$ — текущая активность образца, а $\lambda$ — постоянная распада.

Постоянная распада $\lambda$ связана с периодом полураспада $\text{T}$ следующим соотношением:

$\lambda = \frac{\ln 2}{T}$

Подставив это выражение в закон распада, получим:

$A(t) = A_0 \cdot e^{-t \frac{\ln 2}{T}}$

Для нахождения возраста $\text{t}$ выразим его из этой формулы. Сначала разделим обе части на $A_0$ и затем прологарифмируем:

$\frac{A(t)}{A_0} = e^{-t \frac{\ln 2}{T}}$

$\ln\left(\frac{A(t)}{A_0}\right) = -t \frac{\ln 2}{T}$

Отсюда выражаем $\text{t}$:

$t = -\frac{T}{\ln 2} \ln\left(\frac{A(t)}{A_0}\right) = \frac{T}{\ln 2} \ln\left(\frac{A_0}{A(t)}\right)$

Теперь необходимо рассчитать начальную и текущую активности образца.

1. Начальная активность $A_0$ образца массой $m = 100$ г. По условию, начальная активность 1 грамма углерода составляла $a_0 = 0,255$ Бк (распада в секунду). Следовательно, для 100 граммов начальная активность была:

$A_0 = a_0 \cdot m = 0,255 \text{ Бк/г} \cdot 100 \text{ г} = 25,5$ Бк

2. Текущая активность $A(t)$ образца. Согласно условию, за время $\Delta t = 1$ час (3600 секунд) в образце наблюдается $N_{расп} = 35$ распадов. Активность — это среднее число распадов в единицу времени (в секунду), измеряется в Беккерелях (Бк).

$A(t) = \frac{N_{расп}}{\Delta t} = \frac{35}{3600} \text{ Бк}$

Подставим найденные значения $A_0$, $A(t)$ и данное значение периода полураспада $\text{T}$ в формулу для возраста $\text{t}$:

$t = \frac{5730 \text{ лет}}{\ln 2} \ln\left(\frac{25,5}{35/3600}\right) = \frac{5730}{\ln 2} \ln\left(\frac{25,5 \cdot 3600}{35}\right)$

$t = \frac{5730}{\ln 2} \ln\left(\frac{91800}{35}\right)$

Используя калькулятор, находим значения:

$\ln 2 \approx 0,69315$

$\frac{91800}{35} \approx 2622,857$

$\ln(2622,857) \approx 7,8721$

$t \approx \frac{5730}{0,69315} \cdot 7,8721 \approx 8266,7 \cdot 7,8721 \approx 65074$ лет

Округляя полученный результат, получаем, что возраст находки составляет приблизительно 65 000 лет.

Ответ: возраст находки составляет примерно $65000$ лет.