Номер 6, страница 104, часть 2 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

*6. Активность изотопа углерода $^{14}_{6}\text{C}$ в древних деревянных предметах составляет $\frac{2}{3}$ активности этого изотопа в свежесрубленных деревьях. Оцените с точностью до тысячи лет возраст древних предметов, если период полураспада атомов $^{14}_{6}\text{C}$ 5570 лет.

Ответ: $\approx 3000$ лет.

Дано:

Отношение активности изотопа углерода $_{6}^{14}\text{C}$ в древних предметах ($\text{A}$) к его активности в свежесрубленных деревьях ($A_0$): $\frac{A}{A_0} = \frac{2}{3}$.

Период полураспада атомов $_{6}^{14}\text{C}$: $T_{1/2} = 5570 \text{ лет}$.

Найти:

Возраст древних предметов $\text{t}$.

Решение:

Закон радиоактивного распада связывает активность вещества $\text{A}$ в момент времени $\text{t}$ с начальной активностью $A_0$ и периодом полураспада $T_{1/2}$ следующей формулой:

$A = A_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

В данной задаче также можно использовать эквивалентную формулу с натуральным логарифмом:

$A = A_0 \cdot e^{-\lambda t}$, где $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ — постоянная распада.

Подставим в первую формулу данные из условия задачи, $\frac{A}{A_0} = \frac{2}{3}$:

$\frac{A}{A_0} = 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

$\frac{2}{3} = 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Для нахождения $\text{t}$ прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$\log_2(\frac{2}{3}) = -\frac{t}{T_{1/2}}$

Используем свойство логарифма частного $\log_a(\frac{b}{c}) = \log_a b - \log_a c$:

$\log_2 2 - \log_2 3 = -\frac{t}{T_{1/2}}$

$1 - \log_2 3 = -\frac{t}{T_{1/2}}$

Выразим время $\text{t}$:

$t = T_{1/2} \cdot (\log_2 3 - 1)$

Для вычисления $\log_2 3$ воспользуемся формулой перехода к новому основанию (натуральному логарифму): $\log_2 3 = \frac{\ln 3}{\ln 2}$.

$t = T_{1/2} \cdot (\frac{\ln 3}{\ln 2} - 1)$

Подставим известные значения: $T_{1/2} = 5570$ лет, $\ln 3 \approx 1.0986$, $\ln 2 \approx 0.6931$.

$t \approx 5570 \cdot (\frac{1.0986}{0.6931} - 1) \approx 5570 \cdot (1.5850 - 1) = 5570 \cdot 0.5850 \approx 3258.45 \text{ лет}$.

В условии требуется оценить возраст с точностью до тысячи лет. Округляя полученный результат до тысяч, получаем:

$t \approx 3000 \text{ лет}$.

Ответ: возраст древних предметов составляет примерно 3000 лет.