Номер 1, страница 103, часть 2 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

1. Сколько атомов распадается за одни сутки в препарате полония $^{210}_{84}\text{Po}$ массой $m = 1 \text{ г}$?

Ответ: $\Delta N = 1.44 \cdot 10^{19}$ атомов.

Дано:

Изотоп: $_{84}^{210}\text{Po}$

Масса препарата, $m = 1$ г

Время, $t = 1$ сутки

Период полураспада полония-210 (справочное значение), $T_{1/2} = 138.4$ суток

Молярная масса полония-210, $M \approx 210$ г/моль

Число Авогадро, $N_A = 6.022 \cdot 10^{23}$ моль$^{-1}$

Перевод в систему СИ:

$m = 1 \text{ г} = 1 \cdot 10^{-3}$ кг

$t = 1 \text{ сутки} = 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400$ с

$T_{1/2} = 138.4 \text{ суток} = 138.4 \cdot 86400 \text{ с} \approx 1.196 \cdot 10^7$ с

$M = 210 \text{ г/моль} = 0.210$ кг/моль

Найти:

$\Delta N$ — число распавшихся атомов.

Решение:

Для нахождения числа распавшихся атомов $\Delta N$ за промежуток времени $\text{t}$ воспользуемся законом радиоактивного распада. Поскольку заданный промежуток времени $t=1$ сутки значительно меньше периода полураспада полония $T_{1/2} = 138.4$ суток, можно считать, что начальное число атомов $\text{N}$ за это время почти не изменяется. В этом случае число распавшихся ядер можно рассчитать по приближенной формуле:

$\Delta N \approx \lambda N t$

где $\lambda$ — постоянная распада, а $\text{N}$ — начальное число радиоактивных атомов в препарате.

Начальное число атомов $\text{N}$ найдем через массу препарата $\text{m}$, его молярную массу $\text{M}$ и число Авогадро $N_A$:

$N = \frac{m}{M} N_A$

Постоянная распада $\lambda$ связана с периодом полураспада $T_{1/2}$ соотношением:

$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$

Объединив формулы, получим выражение для $\Delta N$:

$\Delta N \approx \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \cdot \frac{m}{M} N_A \cdot t$

Теперь подставим числовые значения. Для удобства расчетов оставим массу в граммах, а время и период полураспада — в сутках, так как их отношение не зависит от единиц измерения времени.

Сначала найдем начальное число атомов $\text{N}$:

$N = \frac{1 \text{ г}}{210 \text{ г/моль}} \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 2.868 \cdot 10^{21}$ атомов.

Теперь рассчитаем число распавшихся атомов $\Delta N$ за 1 сутки:

$\Delta N \approx \frac{\ln 2}{138.4 \text{ суток}} \cdot (2.868 \cdot 10^{21} \text{ атомов}) \cdot 1 \text{ сутки}$

Используя значение $\ln 2 \approx 0.693$, получаем:

$\Delta N \approx \frac{0.693}{138.4} \cdot 2.868 \cdot 10^{21} \approx 0.005007 \cdot 2.868 \cdot 10^{21}$

$\Delta N \approx 1.436 \cdot 10^{19}$ атомов.

Округляя полученный результат до трех значащих цифр, мы получаем значение, указанное в условии задачи.

Ответ: $\Delta N \approx 1.44 \cdot 10^{19}$ атомов.