Номер 8, страница 104, часть 2 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

*8. В составе руды с радиоактивными элементами всегда присутствует свинец. Известно, что радиоактивный ряд тория замыкает свинец ($^{232}_{90}\text{Th} \Rightarrow ^{208}_{82}\text{Pb}$). Если возраст ториевых руд считать равным $t \approx 4 \cdot 10^9$ годам (порядка возраста Солнечной системы), найдите массу свинца, получаемого из 1 кг тория.

Ответ: $m_2 = m_1 \frac{M_1}{M_2} \cdot 2^{t/T} \approx 0,16$ кг.

Дано:

Начальная масса тория-232 ($_{90}^{232}\text{Th}$), $m_{0,Th} = 1$ кг

Возраст руды, $t = 4 \cdot 10^9$ лет

Цепочка распада: $_{90}^{232}\text{Th} \Rightarrow _{82}^{208}\text{Pb}$

Период полураспада тория-232 (справочное значение), $T_{1/2} = 1,405 \cdot 10^{10}$ лет

Молярная масса тория-232, $M_{Th} \approx 232$ г/моль

Молярная масса свинца-208, $M_{Pb} \approx 208$ г/моль

Перевод в систему СИ:

$m_{0,Th} = 1$ кг

В данной задаче время $\text{t}$ и период полураспада $T_{1/2}$ даны в одних и тех же единицах (годах), поэтому их отношение $t/T_{1/2}$ будет безразмерной величиной. Переводить годы в секунды не требуется.

$M_{Th} \approx 0,232$ кг/моль

$M_{Pb} \approx 0,208$ кг/моль

Найти:

$m_{Pb}$ — массу образовавшегося свинца.

Решение:

Закон радиоактивного распада гласит, что число нераспавшихся ядер радиоактивного элемента уменьшается со временем по экспоненциальному закону. Для тория-232 число оставшихся ядер $N_{Th}(t)$ через время $\text{t}$ можно выразить через начальное число ядер $N_{0,Th}$ и период полураспада $T_{1/2}$:

$N_{Th}(t) = N_{0,Th} \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

Вся цепочка распадов от $_{90}^{232}\text{Th}$ до стабильного изотопа свинца $_{82}^{208}\text{Pb}$ означает, что распад одного атома тория в конечном итоге приводит к образованию одного атома свинца. Следовательно, число образовавшихся атомов свинца $N_{Pb}$ равно числу распавшихся атомов тория:

$N_{Pb}(t) = N_{0,Th} - N_{Th}(t)$

Подставив выражение для $N_{Th}(t)$, получим:

$N_{Pb}(t) = N_{0,Th} - N_{0,Th} \cdot 2^{-t/T_{1/2}} = N_{0,Th} (1 - 2^{-t/T_{1/2}})$

Масса вещества $\text{m}$ связана с числом атомов $\text{N}$ и молярной массой $\text{M}$ через число Авогадро $N_A$ по формуле $N = \frac{m}{M}N_A$. Выразим начальное число атомов тория $N_{0,Th}$ и число образовавшихся атомов свинца $N_{Pb}$ через их массы:

$N_{0,Th} = \frac{m_{0,Th}}{M_{Th}}N_A$

$N_{Pb}(t) = \frac{m_{Pb}(t)}{M_{Pb}}N_A$

Теперь подставим эти выражения в уравнение для $N_{Pb}(t)$:

$\frac{m_{Pb}(t)}{M_{Pb}}N_A = \frac{m_{0,Th}}{M_{Th}}N_A (1 - 2^{-t/T_{1/2}})$

Сократив число Авогадро $N_A$, получим формулу для массы свинца $m_{Pb}$:

$m_{Pb}(t) = m_{0,Th} \frac{M_{Pb}}{M_{Th}} (1 - 2^{-t/T_{1/2}})$

В качестве молярных масс можно с достаточной точностью использовать массовые числа изотопов: $M_{Pb} \approx 208$ и $M_{Th} \approx 232$.

Подставим числовые значения в полученную формулу:

Сначала вычислим отношение $t/T_{1/2}$:

$\frac{t}{T_{1/2}} = \frac{4 \cdot 10^9 \text{ лет}}{1,405 \cdot 10^{10} \text{ лет}} \approx 0,2847$

Теперь рассчитаем массу свинца:

$m_{Pb} = 1 \text{ кг} \cdot \frac{208}{232} \cdot (1 - 2^{-0,2847})$

$m_{Pb} \approx 1 \cdot 0,89655 \cdot (1 - 0,8215)$

$m_{Pb} \approx 0,89655 \cdot 0,1785 \approx 0,1600 \text{ кг}$

Ответ: $m_{Pb} \approx 0,16 \text{ кг}$.