Номер 4, страница 103, часть 2 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

4. Период полураспада изотопа йода $^{131}_{53}\text{I}$ – восемь суток. Если первоначальная масса препарата 40 г, сколько ядер радиоактивного изотопа останется после 80 суток?

Ответ: $1,8 \cdot 10^{20}$.

Дано:

Изотоп: $^{131}_{53}I$

Период полураспада, $T_{1/2} = 8$ суток

Начальная масса, $m_0 = 40$ г

Время, $t = 80$ суток

Постоянная Авогадро, $N_A = 6,022 \cdot 10^{23}$ моль$^{-1}$

Молярная масса изотопа йода-131, $M \approx 131$ г/моль

Перевод в СИ:

$m_0 = 40 \text{ г} = 0,04 \text{ кг}$

$T_{1/2} = 8 \text{ суток} = 8 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 691200 \text{ с}$

$t = 80 \text{ суток} = 80 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 6912000 \text{ с}$

$M = 131 \text{ г/моль} = 0,131 \text{ кг/моль}$

Найти:

Количество оставшихся ядер, $\text{N}$

Решение:

Закон радиоактивного распада для массы радиоактивного вещества имеет вид:

$m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

где $\text{m}$ — масса оставшегося вещества, $m_0$ — начальная масса, $\text{t}$ — прошедшее время, $T_{1/2}$ — период полураспада.

Найдем, сколько периодов полураспада прошло за 80 суток. Для этого можно использовать значения как в сутках, так и в секундах, так как важно их отношение:

$\frac{t}{T_{1/2}} = \frac{80 \text{ суток}}{8 \text{ суток}} = 10$

Теперь вычислим массу изотопа, которая останется по истечении этого времени. Для удобства расчетов будем использовать массу в граммах:

$m = m_0 \cdot 2^{-10} = 40 \text{ г} \cdot \frac{1}{1024} = \frac{40}{1024} \text{ г} \approx 0,0390625 \text{ г}$

Количество оставшихся ядер $\text{N}$ можно найти, зная массу оставшегося вещества $\text{m}$, его молярную массу $\text{M}$ и число Авогадро $N_A$ по формуле:

$N = \frac{m}{M} \cdot N_A$

Молярная масса изотопа йода $^{131}I$ составляет приблизительно $M = 131 \text{ г/моль}$.

Подставим известные значения в формулу:

$N = \frac{0,0390625 \text{ г}}{131 \text{ г/моль}} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Произведем вычисления:

$N \approx 0,000298187 \text{ моль} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 1,7956 \cdot 10^{20}$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с точностью исходных данных), получаем:

$N \approx 1,8 \cdot 10^{20}$

Ответ: останется $1,8 \cdot 10^{20}$ ядер радиоактивного изотопа.