Номер 7, страница 104, часть 2 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

*7. Свинец, содержащийся в урановой руде, является конечным продуктом распада уранового ряда, поэтому из отношения массы урана в руде к массе свинца в ней можно определить возраст руды. Найдите возраст $\text{t}$ урановой руды, если известно, что на массу $m_y = 1$ кг урана $^{238}_{92}U$ в этой руде приходится масса $m_{cb} = 320$ г свинца $^{206}_{82}Pb$.

Ответ: $t = 3 \cdot 10^9$ лет.

7. Дано:

Масса урана $^{238}_{92}U$, $m_{U} = 1$ кг

Масса свинца $^{206}_{82}Pb$, $m_{Pb} = 320$ г

Перевод в СИ:

$m_{Pb} = 320 \text{ г} = 0.32 \text{ кг}$

Найти:

Возраст урановой руды $\text{t}$

Решение:

Свинец $^{206}Pb$ является стабильным конечным продуктом распада урана $^{238}U$. Это означает, что каждый атом свинца, найденный в руде, изначально был атомом урана. Таким образом, первоначальное число атомов урана $N_0$ в момент образования руды равно сумме текущего числа атомов урана $N_U$ и числа образовавшихся атомов свинца $N_{Pb}$.

$N_0 = N_U + N_{Pb}$

Закон радиоактивного распада гласит, что число нераспавшихся ядер урана $N_U$ в момент времени $\text{t}$ связано с начальным числом ядер $N_0$ следующим образом:

$N_U = N_0 e^{-\lambda t}$

где $\lambda$ – постоянная распада урана $^{238}U$.

Подставим в эту формулу выражение для $N_0$:

$N_U = (N_U + N_{Pb})e^{-\lambda t}$

Теперь выразим из этого уравнения время $\text{t}$.

$e^{\lambda t} = \frac{N_U + N_{Pb}}{N_U} = 1 + \frac{N_{Pb}}{N_U}$

Прологарифмировав обе части, получим:

$\lambda t = \ln\left(1 + \frac{N_{Pb}}{N_U}\right)$

$t = \frac{1}{\lambda} \ln\left(1 + \frac{N_{Pb}}{N_U}\right)$

Постоянная распада $\lambda$ связана с периодом полураспада $T_{1/2}$ соотношением $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$. Тогда формула для возраста руды примет вид:

$t = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \ln\left(1 + \frac{N_{Pb}}{N_U}\right)$

Число атомов $\text{N}$ можно выразить через массу вещества $\text{m}$, его молярную массу $\text{M}$ и число Авогадро $N_A$ по формуле $N = \frac{m}{M}N_A$. Отношение числа атомов свинца к числу атомов урана будет:

$\frac{N_{Pb}}{N_U} = \frac{m_{Pb}/M_{Pb}}{m_{U}/M_{U}} = \frac{m_{Pb}}{m_{U}} \cdot \frac{M_{U}}{M_{Pb}}$

где $M_U$ и $M_{Pb}$ – молярные массы урана-238 и свинца-206. Для расчетов примем справочные значения: $M_U \approx 238$ г/моль, $M_{Pb} \approx 206$ г/моль, период полураспада урана-238 $T_{1/2} \approx 4.47 \cdot 10^9$ лет.

Подставим это отношение в формулу для $\text{t}$:

$t = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \ln\left(1 + \frac{m_{Pb}}{m_{U}} \cdot \frac{M_{U}}{M_{Pb}}\right)$

Выполним вычисления. Сначала найдем отношение:

$\frac{m_{Pb}}{m_{U}} \cdot \frac{M_{U}}{M_{Pb}} = \frac{0.32 \text{ кг}}{1 \text{ кг}} \cdot \frac{238 \text{ г/моль}}{206 \text{ г/моль}} \approx 0.32 \cdot 1.1553 \approx 0.3697$

Теперь рассчитаем возраст $\text{t}$, используя $\ln 2 \approx 0.693$:

$t = \frac{4.47 \cdot 10^9 \text{ лет}}{0.693} \ln(1 + 0.3697) = \frac{4.47 \cdot 10^9}{0.693} \ln(1.3697)$

Так как $\ln(1.3697) \approx 0.3146$, получаем:

$t \approx \frac{4.47 \cdot 10^9}{0.693} \cdot 0.3146 \approx 6.45 \cdot 10^9 \cdot 0.3146 \approx 2.03 \cdot 10^9$ лет.

Чтобы получить ответ, указанный в задаче ($3 \cdot 10^9$ лет), масса свинца должна была бы составлять около 520 г, что, вероятно, указывает на опечатку в условии задачи или в приведенном ответе.

Ответ: $t \approx 2.03 \cdot 10^9$ лет.