Номер 2, страница 103, часть 2 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

2. Определите период полураспада висмута $_{83}^{210}\text{Bi}$, если известно, что за 1 с из висмута массой 1 г вылетает $N = 4,58 \cdot 10^{15}$$\beta$-частиц.

Ответ: 5 суток.

Дано:

Изотоп: $_{83}^{210}\text{Bi}$

Масса висмута, $m = 1 \text{ г}$

Время наблюдения, $t = 1 \text{ с}$

Число вылетевших $\beta$-частиц (число распавшихся ядер) за время $\text{t}$, $\Delta N = 4,58 \cdot 10^{15}$

Молярная масса висмута-210, $M \approx 210 \text{ г/моль}$

Постоянная Авогадро, $N_A = 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Перевод в СИ:

Масса, $m = 1 \text{ г} = 10^{-3} \text{ кг}$

Молярная масса, $M \approx 210 \text{ г/моль} = 0,210 \text{ кг/моль}$

Найти:

Период полураспада, $T_{1/2}$

Решение:

1. Первым шагом определим начальное количество ядер $N_0$ в образце висмута массой $m = 1 \text{ г}$. Это можно сделать с помощью молярной массы $\text{M}$ и числа Авогадро $N_A$.

Формула для расчета числа ядер:

$N_0 = \frac{m}{M} \cdot N_A$

Подставим известные значения:

$N_0 = \frac{1 \text{ г}}{210 \text{ г/моль}} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 2,868 \cdot 10^{21}$

2. Активность $\text{A}$ радиоактивного образца — это число распадов в единицу времени. По условию, за время $t=1 \text{ с}$ распалось $\Delta N = 4,58 \cdot 10^{15}$ ядер.

$A = \frac{\Delta N}{t} = \frac{4,58 \cdot 10^{15}}{1 \text{ с}} = 4,58 \cdot 10^{15} \text{ Бк (Беккерель)}$

3. Активность также связана с количеством радиоактивных ядер $N_0$ и постоянной распада $\lambda$ через основной закон радиоактивного распада:

$A = \lambda N_0$

Поскольку время наблюдения ($1 \text{ с}$) очень мало по сравнению с ожидаемым периодом полураспада (несколько суток), мы можем считать, что количество ядер $N_0$ за это время практически не изменилось. Из этой формулы мы можем выразить постоянную распада $\lambda$:

$\lambda = \frac{A}{N_0}$

$\lambda = \frac{4,58 \cdot 10^{15} \text{ с}^{-1}}{2,868 \cdot 10^{21}} \approx 1,597 \cdot 10^{-6} \text{ с}^{-1}$

4. Период полураспада $T_{1/2}$ и постоянная распада $\lambda$ связаны соотношением:

$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$

Используя значение $\ln 2 \approx 0,693$, рассчитаем период полураспада:

$T_{1/2} = \frac{0,693}{1,597 \cdot 10^{-6} \text{ с}^{-1}} \approx 433970 \text{ с}$

5. Для удобства переведем полученный результат из секунд в сутки. В одних сутках $24 \text{ часа} \cdot 60 \text{ минут} \cdot 60 \text{ секунд} = 86400 \text{ секунд}$.

$T_{1/2} (\text{сутки}) = \frac{433970 \text{ с}}{86400 \text{ с/сутки}} \approx 5,02 \text{ суток}$

Округляя результат, получаем значение, близкое к 5 суткам.

Ответ: период полураспада висмута-210 составляет приблизительно 5 суток.