Номер 3, страница 13 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

3. Напишите уравнение и начертите график гармонического колебания, если амплитуда колебаний равна 7 см, частота колебаний 0,5 Гц, начальная фаза равна нулю.

Ответ: $x = 7\cos(\pi t)$ (см).

Дано:

Амплитуда колебаний, $A = 7$ см

Частота колебаний, $f = 0,5$ Гц

Начальная фаза, $\phi_0 = 0$

Перевод в систему СИ:

$A = 7 \text{ см} = 0,07 \text{ м}$

Найти:

1. Уравнение гармонического колебания $x(t)$.

2. График гармонического колебания $x(t)$.

Решение:

Общий вид уравнения гармонического колебания:

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

где $x(t)$ – смещение тела от положения равновесия в момент времени $\text{t}$, $\text{A}$ – амплитуда колебаний, $\omega$ – циклическая (угловая) частота, $\text{t}$ – время, $\phi_0$ – начальная фаза колебаний.

По условию задачи амплитуда $A = 7$ см и начальная фаза $\phi_0 = 0$.

Найдем циклическую частоту $\omega$. Она связана с линейной частотой $\text{f}$ соотношением:

$\omega = 2\pi f$

Подставим значение частоты $f = 0,5$ Гц:

$\omega = 2\pi \cdot 0,5 = \pi \text{ рад/с}$

Теперь подставим все известные значения ($A=7$ см, $\omega=\pi$ рад/с, $\phi_0=0$) в общее уравнение колебаний:

$x(t) = 7 \cos(\pi t + 0)$

$x(t) = 7 \cos(\pi t)$ (см)

Это и есть искомое уравнение гармонического колебания. Смещение $\text{x}$ измеряется в сантиметрах, так как амплитуда была дана в сантиметрах.

Для построения графика определим период колебаний $\text{T}$. Период – это время одного полного колебания. Он связан с частотой $\text{f}$ следующим образом:

$T = \frac{1}{f}$

$T = \frac{1}{0,5} = 2$ c

График зависимости $x(t)$ является косинусоидой. Амплитуда равна 7 см, это означает, что максимальное смещение от положения равновесия составляет 7 см, а минимальное -7 см. Период равен 2 с, что означает, что форма волны повторяется каждые 2 секунды.

Основные точки для построения одного периода графика:

• При $t=0$ c, $x = 7 \cos(0) = 7 \cdot 1 = 7$ см (максимальное смещение).

• При $t=0,5$ c, $x = 7 \cos(\pi \cdot 0,5) = 7 \cos(\pi/2) = 7 \cdot 0 = 0$ см (положение равновесия).

• При $t=1$ c, $x = 7 \cos(\pi \cdot 1) = 7 \cdot (-1) = -7$ см (максимальное смещение в противоположную сторону).

• При $t=1,5$ c, $x = 7 \cos(\pi \cdot 1,5) = 7 \cos(3\pi/2) = 7 \cdot 0 = 0$ см (положение равновесия).

• При $t=2$ c, $x = 7 \cos(\pi \cdot 2) = 7 \cdot 1 = 7$ см (возврат в начальную точку).

График гармонического колебания $x(t) = 7 \cos(\pi t)$:

Ответ: Уравнение гармонического колебания: $x(t) = 7 \cos(\pi t)$ (см). График колебания представлен выше.