Номер 6, страница 13 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

6. За одно и то же время один математический маятник совершил $n_1 = 20$, а второй маятник — $n_2 = 40$ колебаний. Как соотносятся их длины?

Ответ: $l_1/l_2 = 4$.

Дано:

Число колебаний первого маятника, $n_1 = 20$.

Число колебаний второго маятника, $n_2 = 40$.

Промежуток времени для обоих маятников одинаков, $\text{t}$.

Найти:

Отношение длин маятников, $l_1/l_2$.

Решение:

Период колебаний $\text{T}$ — это время одного полного колебания. Его можно найти, разделив общее время наблюдения $\text{t}$ на число колебаний $\text{n}$, совершенных за это время:

$T = \frac{t}{n}$

Для первого и второго маятников периоды будут равны:

$T_1 = \frac{t}{n_1}$

$T_2 = \frac{t}{n_2}$

Также период колебаний математического маятника определяется его длиной $\text{l}$ и ускорением свободного падения $\text{g}$ по формуле Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Запишем эту формулу для каждого из маятников:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}$

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}$

Теперь мы можем приравнять выражения для периодов. Для первого маятника:

$\frac{t}{n_1} = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}$

Для второго маятника:

$\frac{t}{n_2} = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}$

Чтобы найти соотношение длин $l_1/l_2$, найдем сначала отношение их периодов. Разделим выражение для $T_1$ на выражение для $T_2$:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{t/n_1}{t/n_2} = \frac{t}{n_1} \cdot \frac{n_2}{t} = \frac{n_2}{n_1}$

С другой стороны, используя формулу Гюйгенса:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi\sqrt{l_1/g}}{2\pi\sqrt{l_2/g}} = \sqrt{\frac{l_1/g}{l_2/g}} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}}$

Приравняем правые части полученных соотношений:

$\sqrt{\frac{l_1}{l_2}} = \frac{n_2}{n_1}$

Чтобы избавиться от квадратного корня и найти искомое отношение длин, возведем обе части уравнения в квадрат:

$\frac{l_1}{l_2} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2$

Подставим данные из условия задачи:

$\frac{l_1}{l_2} = \left(\frac{40}{20}\right)^2 = 2^2 = 4$

Таким образом, длина первого маятника в 4 раза больше длины второго.

Ответ: $l_1/l_2 = 4$.