Номер 1, страница 202 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

1. Небольшой груз, подвешенный на нити длиной 2,5 м, совершает гармонические колебания, при которых его максимальная скорость достигает 0,2 м/с. При помощи собирающей линзы с фокусным расстоянием 0,2 м изображение колеблющегося груза проецируется на экран, расположенный на расстоянии 0,5 м от линзы. Главная оптическая ось линзы перпендикулярна плоскости колебаний маятника и плоскости экрана. Определите максимальное смещение изображения груза на экране от положения равновесия.

Дано:

Длина нити маятника, $l = 2,5 \text{ м}$
Максимальная скорость груза, $v_{max} = 0,2 \text{ м/с}$
Фокусное расстояние линзы, $F = 0,2 \text{ м}$
Расстояние от линзы до экрана (расстояние до изображения), $f = 0,5 \text{ м}$

Все данные представлены в системе СИ. Примем ускорение свободного падения $g = 10 \text{ м/с}^2$.

Найти:

Максимальное смещение изображения груза на экране, $A_{изобр}$ — ?

Решение:

Решение задачи можно разделить на два этапа: сначала найдем амплитуду колебаний самого маятника, а затем, используя законы оптики, определим амплитуду колебаний его изображения на экране.

1. Определение амплитуды колебаний маятника ($A$)
Груз на нити совершает гармонические колебания. Он является математическим маятником. Его циклическая (угловая) частота колебаний $\omega$ вычисляется по формуле: $ \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} $

Подставим известные значения: $ \omega = \sqrt{\frac{10 \text{ м/с}^2}{2,5 \text{ м}}} = \sqrt{4 \text{ с}^{-2}} = 2 \text{ рад/с} $

Для любого тела, совершающего гармонические колебания, максимальная скорость $v_{max}$ связана с амплитудой колебаний $A$ и циклической частотой $\omega$ следующим образом: $ v_{max} = A \cdot \omega $

Из этой формулы мы можем выразить амплитуду $A$: $ A = \frac{v_{max}}{\omega} $

Вычислим значение амплитуды колебаний груза: $ A = \frac{0,2 \text{ м/с}}{2 \text{ рад/с}} = 0,1 \text{ м} $

Амплитуда колебаний груза, то есть его максимальное смещение от положения равновесия, составляет 0,1 м.

2. Определение максимального смещения изображения ($A_{изобр}$)
Колебания груза происходят в плоскости, перпендикулярной главной оптической оси линзы. Это означает, что амплитуда колебаний $A$ выступает в роли высоты предмета ($h=A$), а максимальное смещение изображения $A_{изобр}$ будет являться высотой изображения ($H=A_{изобр}$).

Линейное (поперечное) увеличение линзы $\Gamma$ связывает размеры предмета и изображения с расстояниями до них: $ \Gamma = \frac{H}{h} = \frac{A_{изобр}}{A} = \frac{f}{d} $ где $d$ — расстояние от предмета (маятника) до линзы, а $f$ — расстояние от линзы до изображения (экрана).

Чтобы найти увеличение, нам необходимо сначала вычислить расстояние $d$. Для этого используем формулу тонкой линзы: $ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} $

Выразим из формулы $1/d$ и подставим известные значения: $ \frac{1}{d} = \frac{1}{F} - \frac{1}{f} = \frac{1}{0,2 \text{ м}} - \frac{1}{0,5 \text{ м}} = 5 \text{ м}^{-1} - 2 \text{ м}^{-1} = 3 \text{ м}^{-1} $

Отсюда находим расстояние от маятника до линзы: $ d = \frac{1}{3} \text{ м} $

Теперь мы можем рассчитать линейное увеличение линзы: $ \Gamma = \frac{f}{d} = \frac{0,5 \text{ м}}{1/3 \text{ м}} = 0,5 \cdot 3 = 1,5 $

Наконец, находим максимальное смещение изображения на экране, которое равно произведению увеличения на амплитуду колебаний самого груза: $ A_{изобр} = \Gamma \cdot A = 1,5 \cdot 0,1 \text{ м} = 0,15 \text{ м} $

Ответ: максимальное смещение изображения груза на экране от положения равновесия составляет 0,15 м.