Номер 5, страница 202 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

5. От предмета высотой 1 см получили с помощью линзы действительное изображение высотой 6 см. Когда предмет передвинули на 6 см, то получили мнимое изображение высотой 3 см. Определите фокусное расстояние линзы.

Дано:

$h = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$H_1 = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$ (действительное изображение)
$\Delta d = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$H_2 = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$ (мнимое изображение)

Найти:

$F - ?$

Решение:

Поскольку линза создает как действительное, так и мнимое увеличенное изображение, это собирающая линза. Для собирающей линзы фокусное расстояние $F$ положительно.

Запишем формулу тонкой линзы: $$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $$ где $d$ — расстояние от предмета до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения. Для действительного изображения $f > 0$, для мнимого $f < 0$.

Линейное увеличение линзы $\Gamma$ определяется как отношение высоты изображения $H$ к высоте предмета $h$: $$ \Gamma = \frac{H}{h} = \left|\frac{f}{d}\right| $$

Случай 1: Действительное изображение

Пусть $d_1$ — начальное расстояние от предмета до линзы, а $f_1$ — расстояние до действительного изображения.

Увеличение в первом случае: $$ \Gamma_1 = \frac{H_1}{h} = \frac{6 \text{ см}}{1 \text{ см}} = 6 $$

Так как изображение действительное, $f_1 > 0$, и увеличение равно $\Gamma_1 = f_1/d_1$. Отсюда: $$ f_1 = \Gamma_1 d_1 = 6d_1 $$

Подставим это в формулу тонкой линзы: $$ \frac{1}{d_1} + \frac{1}{6d_1} = \frac{1}{F} $$ $$ \frac{6+1}{6d_1} = \frac{1}{F} \implies \frac{7}{6d_1} = \frac{1}{F} $$ $$ F = \frac{6d_1}{7} \quad (1) $$

Случай 2: Мнимое изображение

Чтобы получить мнимое изображение с помощью собирающей линзы, предмет нужно было переместить ближе к линзе, на расстояние меньше фокусного. Значит, новое расстояние до предмета $d_2 = d_1 - \Delta d = d_1 - 6 \text{ см}$.

Расстояние до мнимого изображения обозначим $f_2$.

Увеличение во втором случае: $$ \Gamma_2 = \frac{H_2}{h} = \frac{3 \text{ см}}{1 \text{ см}} = 3 $$

Так как изображение мнимое, $f_2 < 0$, и увеличение равно $\Gamma_2 = |f_2/d_2| = -f_2/d_2$. Отсюда: $$ f_2 = -\Gamma_2 d_2 = -3d_2 $$

Подставим $d_2$ и $f_2$ в формулу тонкой линзы: $$ \frac{1}{d_2} + \frac{1}{(-3d_2)} = \frac{1}{F} $$ $$ \frac{1}{d_2} - \frac{1}{3d_2} = \frac{1}{F} $$ $$ \frac{3-1}{3d_2} = \frac{1}{F} \implies \frac{2}{3d_2} = \frac{1}{F} $$ $$ F = \frac{3d_2}{2} $$

Заменим $d_2 = d_1 - 6$: $$ F = \frac{3(d_1 - 6)}{2} \quad (2) $$

Нахождение фокусного расстояния

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2) для $F$ и $d_1$. Приравняем правые части этих уравнений: $$ \frac{6d_1}{7} = \frac{3(d_1 - 6)}{2} $$

Решим это уравнение относительно $d_1$: $$ 2 \cdot 6d_1 = 7 \cdot 3(d_1 - 6) $$ $$ 12d_1 = 21(d_1 - 6) $$ $$ 12d_1 = 21d_1 - 126 $$ $$ 21d_1 - 12d_1 = 126 $$ $$ 9d_1 = 126 $$ $$ d_1 = \frac{126}{9} = 14 \text{ см} $$

Теперь, зная $d_1$, найдем фокусное расстояние $F$ по формуле (1): $$ F = \frac{6d_1}{7} = \frac{6 \cdot 14}{7} = 6 \cdot 2 = 12 \text{ см} $$

Проверим результат по формуле (2): $$ F = \frac{3(d_1 - 6)}{2} = \frac{3(14 - 6)}{2} = \frac{3 \cdot 8}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ см} $$ Результаты совпадают.

Ответ: фокусное расстояние линзы равно 12 см.