Номер 9, страница 202 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

первой линзы.

9. С какой выдержкой надо фотографировать бегуна, скорость которого $3 \text{ м/с}$, чтобы размытость изображения не превышала $0,1 \text{ мм}$? Фокусное расстояние объектива $15 \text{ см}$, расстояние от фотоаппарата до бегуна $10 \text{ м}$.

Дано:

Найти:

Решение:

Размытость изображения $\Delta l$ возникает из-за того, что за время выдержки $\Delta t$ изображение объекта на светочувствительном элементе (пленке или матрице) смещается. Это смещение равно произведению скорости изображения $v_{из}$ на время выдержки $\Delta t$.

$\Delta l = v_{из} \cdot \Delta t$

Отсюда можно выразить искомую выдержку:

$\Delta t = \frac{\Delta l}{v_{из}}$

Чтобы найти скорость изображения $v_{из}$, воспользуемся понятием поперечного увеличения линзы $\Gamma$. Увеличение связывает скорость объекта $v$ и скорость его изображения $v_{из}$:

$\Gamma = \frac{v_{из}}{v}$

Следовательно, $v_{из} = \Gamma \cdot v$.

Поперечное увеличение также определяется как отношение расстояния от линзы до изображения $f$ к расстоянию от линзы до объекта $d$:

$\Gamma = \frac{f}{d}$

Расстояние до изображения $f$ найдем из формулы тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

Выразим $\frac{1}{f}$:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{d \cdot F}$

Тогда $f = \frac{d \cdot F}{d - F}$.

Теперь найдем увеличение:

$\Gamma = \frac{f}{d} = \frac{d \cdot F}{d(d - F)} = \frac{F}{d - F}$

Подставим выражение для увеличения в формулу для скорости изображения:

$v_{из} = \frac{F}{d - F} \cdot v$

И, наконец, подставим скорость изображения в формулу для выдержки:

$\Delta t = \frac{\Delta l}{v_{из}} = \frac{\Delta l}{\frac{F \cdot v}{d - F}} = \frac{\Delta l \cdot (d - F)}{F \cdot v}$

По условию, размытость не должна превышать $\Delta l$, следовательно, выдержка должна быть не больше рассчитанного значения. Подставим числовые значения в систему СИ:

$\Delta t \le \frac{0.0001 \text{ м} \cdot (10 \text{ м} - 0.15 \text{ м})}{0.15 \text{ м} \cdot 3 \text{ м/с}}$

$\Delta t \le \frac{0.0001 \cdot 9.85}{0.45} \text{ с}$

$\Delta t \le \frac{0.000985}{0.45} \text{ с} \approx 0.002189 \text{ с}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $\Delta t \le 0.0022$ с, или $2.2$ мс. В долях секунды это примерно $1/457$ с.

Ответ: выдержка не должна превышать $0.0022$ с (или должна быть короче, чем примерно $1/450$ с).