Номер 7, страница 202 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

7. Два одинаковых предмета, находящиеся по одну сторону линзы на расстоянии 60 см друг от друга, изображаются линзой с увеличением 2 и 4 соответственно. Определите расстояние между изображениями предметов.

Дано

Расстояние между предметами: $ \Delta d = 60 \text{ см} $
Увеличение для первого предмета: $ k_1 = 2 $
Увеличение для второго предмета: $ k_2 = 4 $

В системе СИ:
$ \Delta d = 0.6 \text{ м} $

Найти:

Расстояние между изображениями предметов $ \Delta f' $.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой тонкой линзы и формулой для линейного увеличения.

Формула тонкой линзы: $ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f'} $, где $ F $ – фокусное расстояние линзы, $ d $ – расстояние от предмета до линзы, $ f' $ – расстояние от линзы до изображения. Для действительных изображений $ f' > 0 $, для мнимых $ f' < 0 $.

Линейное увеличение линзы: $ k = \left| \frac{f'}{d} \right| $.

Поскольку оба увеличения больше единицы ($ k_1 > 1 $ и $ k_2 > 1 $), линза является собирающей ($ F > 0 $). Существует два возможных случая для получения увеличенного изображения с помощью собирающей линзы:

1. Предмет находится между фокусом и двойным фокусом ($ F < d < 2F $). В этом случае изображение будет действительным, перевернутым и увеличенным.

2. Предмет находится между линзой и фокусом ($ d < F $). В этом случае изображение будет мнимым, прямым и увеличенным.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Оба изображения действительные.

Для действительного изображения $ f' > 0 $ и $ k = \frac{f'}{d} $, откуда $ f' = kd $. Подставим это в формулу линзы:

$ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{kd} = \frac{k+1}{kd} $

Отсюда выразим расстояние до предмета $ d $:

$ d = F \frac{k+1}{k} = F \left( 1 + \frac{1}{k} \right) $

Применим эту формулу для двух предметов:

$ d_1 = F \left( 1 + \frac{1}{k_1} \right) = F \left( 1 + \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{2}F $

$ d_2 = F \left( 1 + \frac{1}{k_2} \right) = F \left( 1 + \frac{1}{4} \right) = \frac{5}{4}F $

Так как $ d_1 > d_2 $, расстояние между предметами равно $ \Delta d = d_1 - d_2 $.

$ \Delta d = \frac{3}{2}F - \frac{5}{4}F = \left( \frac{6-5}{4} \right)F = \frac{1}{4}F $

Зная, что $ \Delta d = 60 \text{ см} $, находим фокусное расстояние линзы:

$ F = 4 \cdot \Delta d = 4 \cdot 60 \text{ см} = 240 \text{ см} $

Теперь найдем расстояния до изображений $ f'_1 $ и $ f'_2 $. Сначала вычислим $ d_1 $ и $ d_2 $:

$ d_1 = \frac{3}{2}F = \frac{3}{2} \cdot 240 \text{ см} = 360 \text{ см} $

$ d_2 = \frac{5}{4}F = \frac{5}{4} \cdot 240 \text{ см} = 300 \text{ см} $

Расстояния до изображений:

$ f'_1 = k_1 d_1 = 2 \cdot 360 \text{ см} = 720 \text{ см} $

$ f'_2 = k_2 d_2 = 4 \cdot 300 \text{ см} = 1200 \text{ см} $

Расстояние между изображениями:

$ \Delta f' = |f'_2 - f'_1| = |1200 - 720| \text{ см} = 480 \text{ см} $

Случай 2: Оба изображения мнимые.

Для мнимого изображения $ f' < 0 $, и в формуле линзы используется $ -|f'| $. Увеличение $ k = \frac{|f'|}{d} $, откуда $ |f'| = kd $. Подставим это в формулу линзы:

$ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} - \frac{1}{|f'|} = \frac{1}{d} - \frac{1}{kd} = \frac{k-1}{kd} $

Выразим расстояние до предмета $ d $:

$ d = F \frac{k-1}{k} = F \left( 1 - \frac{1}{k} \right) $

Применим эту формулу для двух предметов:

$ d_1 = F \left( 1 - \frac{1}{k_1} \right) = F \left( 1 - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}F $

$ d_2 = F \left( 1 - \frac{1}{k_2} \right) = F \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4}F $

В этом случае $ d_2 > d_1 $. Расстояние между предметами равно $ \Delta d = d_2 - d_1 $.

$ \Delta d = \frac{3}{4}F - \frac{1}{2}F = \frac{1}{4}F $

Мы снова получили $ F = 4 \cdot \Delta d = 240 \text{ см} $.

Теперь найдем расстояния до изображений. Сначала вычислим $ d_1 $ и $ d_2 $:

$ d_1 = \frac{1}{2}F = \frac{1}{2} \cdot 240 \text{ см} = 120 \text{ см} $

$ d_2 = \frac{3}{4}F = \frac{3}{4} \cdot 240 \text{ см} = 180 \text{ см} $

Расстояния до мнимых изображений (координаты $ f' $ будут отрицательны):

$ |f'_1| = k_1 d_1 = 2 \cdot 120 \text{ см} = 240 \text{ см} $ ($f'_1 = -240 \text{ см}$)

$ |f'_2| = k_2 d_2 = 4 \cdot 180 \text{ см} = 720 \text{ см} $ ($f'_2 = -720 \text{ см}$)

Расстояние между изображениями:

$ \Delta f' = |f'_2 - f'_1| = |-720 - (-240)| \text{ см} = |-480| \text{ см} = 480 \text{ см} $

Как видно, в обоих возможных случаях расстояние между изображениями оказывается одинаковым.

Ответ: 480 см.