Номер 2, страница 240 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Подставьте формулы (8.9) и (8.10) в формулу (8.8) и убедитесь в правильности приведённых выражений для импульса и энергии.

Дано:

В задаче предполагается, что известны следующие формулы (нумерация условна, восстановлена по контексту задачи):

Формулы (8.8) — соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц:

Импульс (соотношение де Бройля): $p = \frac{h}{\lambda}$

Энергия (формула Планка-Эйнштейна): $E = h\nu$

Формула (8.9) — определение волнового числа:

$k = \frac{2\pi}{\lambda}$

Формула (8.10) — определение циклической (угловой) частоты:

$\omega = 2\pi\nu$

В этих формулах $p$ – импульс, $E$ – энергия, $h$ – постоянная Планка, $\lambda$ – длина волны, $\nu$ – частота.

Также используется определение приведённой постоянной Планка (постоянной Дирака): $\hbar = \frac{h}{2\pi}$.

Найти:

Убедиться в правильности выражений для импульса ($p$) и энергии ($E$) через волновое число ($k$) и циклическую частоту ($\omega$):

$p = \hbar k$

$E = \hbar \omega$

Решение:

Для проверки правильности выражений выполним последовательные алгебраические подстановки.

Сначала проверим выражение для импульса. Возьмем формулу де Бройля $p = \frac{h}{\lambda}$ (из 8.8). Из определения волнового числа $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ (формула 8.9) выразим длину волны: $\lambda = \frac{2\pi}{k}$. Теперь подставим это выражение для $\lambda$ в формулу для импульса:

$p = \frac{h}{\left(\frac{2\pi}{k}\right)} = \frac{h k}{2\pi}$

Используя определение приведённой постоянной Планка $\hbar = \frac{h}{2\pi}$, получаем искомое выражение:

$p = \left(\frac{h}{2\pi}\right) k = \hbar k$

Таким образом, правильность выражения для импульса подтверждена.

Далее проверим выражение для энергии. Возьмем формулу Планка-Эйнштейна $E = h\nu$ (из 8.8). Из определения циклической частоты $\omega = 2\pi\nu$ (формула 8.10) выразим частоту: $\nu = \frac{\omega}{2\pi}$. Подставим это выражение для $\nu$ в формулу для энергии:

$E = h \left(\frac{\omega}{2\pi}\right) = \frac{h \omega}{2\pi}$

Снова используя определение $\hbar = \frac{h}{2\pi}$, получаем искомое выражение:

$E = \left(\frac{h}{2\pi}\right) \omega = \hbar \omega$

Таким образом, правильность выражения для энергии также подтверждена.

Ответ: Подстановка определений волнового числа (формула 8.9) и циклической частоты (формула 8.10) в исходные формулы для импульса и энергии (формулы 8.8) подтверждает правильность приведённых выражений $p = \hbar k$ и $E = \hbar \omega$.